Sistema di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un insieme di 2 o più disequazioni aventi la stessa incognita i cui valori verificano contemporaneamente le disequazioni.

Esso può avere una o più incognite, espressamente indicate.

Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole disequazioni. In un sistema di m disequazioni ed n incognite, il numero delle disequazioni può essere: maggiore del numero delle incognite (m > n) uguale al numero delle incognite (m = n) minore del numero delle incognite (m < n).

Risolvere un sistema rispetto alle incognite indicate significa determinare l'insieme dei valori che, rispettivamente sostituiti ad esse, verificano tutte le disequazioni che lo costituiscono.

Esempio di sistema di disequazioni di primo gradoModifica

 

che ha come soluzione: , ovvero  .

Sistemi impossibiliModifica

  • Un sistema di disequazioni può essere impossibile se non c'è un insieme di valori che soddisfino tutte le disequazioni:
 

si risolve nel sistema

 

Evidentemente questo non ha soluzioni perché non esiste un numero che stia tra -1 e 1 e sia contemporaneamente maggiore di 6

  • Un sistema può anche essere impossibile se almeno una delle sue disequazioni non ha soluzioni:
 

È impossibile perché la prima disequazione non ha soluzioni (all'interno dell'insieme dei numeri reali), e l'intersezione tra un insieme vuoto di soluzioni e un altro insieme di soluzioni è l'insieme vuoto.

Risoluzione di un sistema di disequazioni polinomialiModifica

Nel caso di una frazione o di un sistema di disequazioni polinomiali si ripete il procedimento per la risoluzione di una disequazione polinomiale, per ogni disequazione del sistema (o per il numeratore e denominatore della frazione). Il numeratore e denominatore della frazione sono equivalenti ad un sistema di due disequazioni polinomiali.

Dopo avere disegnato il diagramma per il prodotto dei segni, per ogni disequazione, resta da farne uno per la risoluzione del sistema.

Il diagramma è nuovamente una retta nella quale si riportano in ordine crescente gli zeri associati a tutte le disequazioni del sistema. La soluzione questa volta però è l'intersezione (un AND) degli intervalli di valori dell'incognita, che saranno separati dal segno di congiunzione. Nel diagramma non si effettua il prodotto dei segni, e da ogni valore parte soltanto una linea continua nel verso positivo (non compaiono linee tratteggiate).

Gli intervalli di valori della soluzione sono quelli per i quali passano tutte le linee (continue) tracciate nel grafico.

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