Quadripotenziale

Il quadripotenziale è il potenziale associato al campo elettromagnetico in relatività ristretta: si tratta di una funzione a valori vettoriali che risulta invariante rispetto a delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazioni di Lorentz.

Il quadripotenziale è un vettore a quattro componenti, di cui la prima è il potenziale elettrico e le restanti sono le tre componenti del potenziale vettore magnetico, ed è un campo di gauge, ovvero possiede gradi di libertà ridondanti (da cui segue che differenti campi possono descrivere la stessa situazione fisica). Nel gauge di Lorenz, in particolare, è un quadrivettore, dal momento che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

Definizione

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come:

$A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

in cui $\phi$ è il potenziale elettrico ed $\mathbf {A}$ il potenziale magnetico.

L'unità di misura di $A^{\alpha }$ è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Il campo elettrico ed il campo magnetico associati al quadripotenziale sono:

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$

Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz.

Il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Gauge di Lorenz

Nel gauge di Lorenz $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

$\Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }\qquad \left(\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }\right)$

dove $J^{\alpha }$ sono le componenti della quadricorrente, e:

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$

è l'operatore di d'Alembert. Esplicitamente:

$\Box \phi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)$

$\Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} \qquad \left(\Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \right)$

Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

$\nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

$\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}$

Per una data distribuzione di carica $\rho (\mathbf {x} ,t)$ e corrente $\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)$ le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

$\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}$

$\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}$

dove:

$\tau =t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}{c}}$

è il tempo ritardato.

Bibliografia

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853952-5.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo elettromagnetico
• Campo magnetico
• Covarianza di Lorentz
• Gauge di Lorenz
• Potenziale vettore magnetico
• Potenziali ritardati
• Quadrivettore
• Quadricorrente
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria del potenziale
• Trasformazione di Lorentz