Successione complessa

successione composta da numeri o funzioni complesse

In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.

Successione numerica modifica

Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:

 

Si dice che una successione complessa ha limite   se per ogni   esiste  , con  , tale per cui:

 

quando  . Si scrive:

 

Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti   si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro   e raggio  .

Supposto che i termini della successione siano   e il limite sia  , allora si ha:

 

se e solo se:

 

cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.

Infatti, quando   e quando   le due successioni reali soddisfano rispettivamente:

 

ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici   affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:

 

quando  . Viceversa, se per   si ha:

 

allora si ha anche:

 

Successioni di funzioni modifica

Sia   una successione di funzioni complesse su un dominio   del piano complesso. Si dice che   converge puntualmente alla funzione   in   se:

 

Si dice che converge uniformemente alla funzione   in   se:

 

Si vede facilmente che se si verifica:

 

allora   rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se   e   rispettivamente puntualmente e uniformemente .

Criterio di Cauchy modifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di Cauchy e Criterio di convergenza di Cauchy.

Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che   se e solo se esiste un numero   tale che:

 

e tale che per ogni   esiste un indice   tale per cui:

 

Bibliografia modifica

  • (EN) John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986
  • (EN) Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987
  • (EN) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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