Successione di Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola , da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

DefinizioneModifica

Si definisce successione di Cauchy una successione   a valori in uno spazio metrico   tale che per ogni   esiste   tale che per tutti gli   si verifica:[1]

 

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio   tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in   è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente  . Esiste allora un indice   tale per cui:

 

Considerando allora   e   maggiori di   si ha di conseguenza:

 

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico   hanno un limite in  , allora   viene chiamato spazio metrico completo.[2] Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo. Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite   tende a  .

Alcuni teoremi sulle successioni di CauchyModifica

Si dice diametro di un certo insieme   in uno spazio metrico   l'estremo superiore:

 

e si indica con:

 

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di CauchyModifica

Sia   una successione di Cauchy in  . Allora   è limitata in  .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni   esiste   tale che:

 

e dunque esiste   che soddisfa:

 

da cui:

 

Sia:

 

Allora:

 

Perciò   è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenzaModifica

Sia   convergente. Allora   è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni   si può trovare   tale che esiste   che soddisfa:

 

Dunque esiste un indice di successione   per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

 

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metriciModifica

Sia  , con   compatto e   una successione di Cauchy in  . Allora   converge a qualche punto di  .

Infatti, sia, come da enunciato,   una successione di Cauchy. Per ogni   numero naturale, si costruisca   nel seguente modo:

 
 

dove   è la chiusura di   (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

 

Inoltre:

 

che implica:

 

e quindi esiste un unico   tale che   per ogni  . A questo punto, per ogni   esiste   tale per cui:

 

da cui:

 

che implica:

 

il che significa  , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di RkModifica

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in   ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy   a valori in  , sia come per il teorema precedente:

 

Allora è possibile costruire per qualche   un   tale che  . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme  , e dall'altra c'è  . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in   ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di  .

Numeri razionali e numeri realiModifica

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

 

dove   sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica  , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 5.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 6.

BibliografiaModifica

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

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