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In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola , da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Indice

DefinizioneModifica

Si definisce successione di Cauchy una successione   a valori in uno spazio metrico   tale che per ogni   esiste   tale che per tutti gli   si verifica:[1]

 

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio   tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in   è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente  . Esiste allora un indice   tale per cui:

 

Considerando allora   e   maggiori di   si ha di conseguenza:

 

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'elemento al quale converge appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico   hanno un limite in  , allora   viene chiamato spazio metrico completo.[2] Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite   tende a  .

Alcuni teoremi sulle successioni di CauchyModifica

Si dice diametro di un certo insieme   in uno spazio metrico   l'estremo superiore:

 

e si indica con:

 

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di CauchyModifica

Sia   una successione di Cauchy in  . Allora   è limitata in  .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni   esiste   tale che:

 

e dunque esiste   che soddisfa:

 

da cui:

 

Sia:

 

Allora:

 

Perciò   è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenzaModifica

Sia   convergente. Allora   è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni   si può trovare   tale che esiste   che soddisfa:

 

Dunque esiste un indice di successione   per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

 

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metriciModifica

Sia  , con   compatto e   una successione di Cauchy in  . Allora   converge a qualche punto di  .

Infatti, sia, come da enunciato,   una successione di Cauchy. Per ogni   numero naturale, si costruisca   nel seguente modo:

 
 

dove   è la chiusura di   (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

 

Inoltre:

 

che implica:

 

e quindi esiste un unico   tale che   per ogni  . A questo punto, per ogni   esiste   tale per cui:

 

da cui:

 

che implica:

 

il che significa  , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di RkModifica

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in   ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy   a valori in  , sia come per il teorema precedente:

 

Allora è possibile costruire per qualche   un   tale che  . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme  , e dall'altra c'è  . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in   ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di  .

Numeri razionali e numeri realiModifica

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

 

dove   sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica  , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 5.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 6.

BibliografiaModifica

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

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