Superficie cartesiana esplicita

Una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^{1}$ definita nell'insieme aperto $\Omega$, rappresenta una superficie cartesiana esplicita.

Piano tangente

Se la superficie è differenziabile in tutti i punti $(x_{0},y_{0},z_{0})$ della superficie allora esiste il piano tangente:

$\zeta =f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})$

Normale

Noto il piano tangente si possono definire due vettori normali:

${\vec {n}}=\pm \{f_{x},f_{y},-1\}$

e quindi normalizzando otteniamo due versori normali:

${\vec {n}}=\pm {\frac {\{f_{x},f_{y},-1\}}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}}$

Area di una superficie cartesiana esplicita

L'area di una superficie cartesiana esplicita è data dalla somma di tutte le superfici infinitesime che vogliamo approssimino la nostra superficie. Al limite di queste superfici infinitesime che tendono a zero (o ugualmente al limite del numero di superfici infinitesime che tende all'infinito) la somma tende all'integrale:

$A(S)=\iint _{\Omega }{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\,dxdy$

Parametrizzazione

Qualsiasi superficie cartesiana esplicita si può parametrizzare:

${\begin{cases}x=u\\y=v\\z=\phi (u,v)\end{cases}}$

In tal modo valgono tutte le considerazioni fatte per le superfici parametriche.

Voci correlate

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana implicita
• Integrale multiplo
• Normale (superficie)