Tangente alla circonferenza

In geometria euclidea si chiama tangente ad circonferenza una retta che tocca in un solo punto. È possibile dimostrare che preso un punto non esistono tangenti se è interno a , vi è esattamente una tangente se è un punto di e vi sono esattamente due tangenti distinte se è esterno a .

Costruzione tangenti da un punto esternoModifica

Dato un punto   esterno alla circonferenza   è possibile costruire le tangenti a tale circonferenza per   (e quindi dimostrare l'esistenza di tali rette tangenti).

Metodo di EuclideModifica

Euclide propone una costruzione di tali tangenti negli Elementi (Libro III - Proposizione 17).

Dal centro   della circonferenza   si tracci il segmento   e si disegni la circonferenza   di centro   e raggio  .

Sia   uno dei due punti di intersezione tra   e   (scegliamo ad esempio quello tra   ed  ).

Da tale punto   si tracci la perpendicolare a   e sia   uno dei due punti di intersezione di tale perpendicolare con la circonferenza  .

Si tracci   e si indichi con   il punto di intersezione tra   e  .

La retta   è una delle due tangenti a   per il punto esterno  .

Infatti,   poiché entrambi raggi di   ed   poiché entrambi raggi di  .

I triangoli   e   sono congruenti poiché hanno due lati e l'angolo compreso tra questi congruenti.

Quindi, in particolare l'angolo   è retto.

Per la proposizione degli Elementi 3.16, una retta che formi un angolo retto con un diametro (in questo caso con  ) è tangente alla circonferenza. Da cui la tangenza di   a  .

L'altra tangente si costruisce scegliendo l'altro dei due punti di intersezione della perpendicolare a   con la circonferenza  .

Metodo alternativoModifica

Si congiunga P con il centro   della circonferenza   e si tracci   il punto medio del segmento  .

Si disegni la circonferenza di centro M e raggio   e si indichino con   e   i punti di intersezione di tale circonferenza con  .

Le rette   e   sono le tangenti alla circonferenza   condotte dal punto  .

Infatti, i due triangoli   e   sono rettangoli in   e   rispettivamente poiché inscritti in semicirconferenze; quindi   e   sono le tangenti alla circonferenza   condotte da   poiché perpendicolare ai raggi     rispettivamente.

Tangente nella geometria cartesianaModifica

In geometria cartesiana il coefficiente angolare della tangente si trova calcolando la derivata totale dell'equazione della circonferenza rispetto ad   o  , applicata nel punto interessato sulla circonferenza.

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