Teorema del passo montano

Il teorema del passo montano è un importante risultato in calcolo delle variazioni che dimostra, sotto certe ipotesi, l'esistenza di punti di sella per i funzionali. Tale teorema è spesso usato per dimostrare l'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali o per dimostrare la non unicità di tali soluzioni.

Teorema

Sia $E$ uno spazio di Banach e sia $J\colon E\to \mathbb {R}$ un funzionale di classe $C^{1}$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale (formulazione forte). Siano $u_{0}$ e $u_{1}$ in $E$, $c_{0}\in \mathbb {R}$ e $R>0$ tale che

1. $\Vert u_{0}-u_{1}\Vert >R$;
2. per ogni $v\in E$ tale che $\Vert u_{0}-v\Vert =R,$ $\max\{J(u_{0}),J(u_{1})\}<c_{0}\leq J(v)$.

Allora, $J$ ha un valore critico $c\geq c_{o}$, definito da $c=\inf _{\gamma \in {\mathcal {P}}}\max _{t\in [0,1]}J(\gamma (t)),$ dove ${\mathcal {P}}$ è l'insieme di tutte le curve continue , ovvero ${\mathcal {P}}=\{\gamma \colon [0,1]\to E|\gamma (0)=u_{0}\;{\textit {e}}\;\gamma (1)=u_{1}\}$.

Dimostrazione

Siccome ogni curva $\gamma \colon [0,1]\to E$ tale che $\gamma (0)=u_{0}$ e $\gamma (1)=u_{1}$, per l'ipotesi 1, deve attraversare la sfera $\{v\in E|\Vert v-u_{0}\Vert =R\}$, si ha che $c\geq c_{0}$. Assumiamo per assurdo che $c$ non sia un valore critico. Allora, possiamo trovare $\varepsilon _{0}>0$ e un flusso $\eta$ come quello nel lemma di deformazione tale che per ogni $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$ si ha $\eta (1,{J^{-1}((-\infty ,c+\varepsilon ])})\subset \{J^{-1}((-\infty ,c-\varepsilon ])\}$. Preso $\varepsilon _{0}$ tale che $\max\{J(u_{0}),J(u_{1})\}<c-\varepsilon _{0}$ e posto $\zeta (t)=\eta (1,\gamma (t))$, allora $\max _{t\in [0,1]}J(\zeta (t))\leq c-\varepsilon$.

Allora, $\zeta (0)=\eta (1,u_{0})=u_{0}$ e $\zeta (1)=\eta (1,u_{1})=u_{1}$ (vedi proprietà 3 del lemma della deformazione). Per quanto detto $\zeta \in {\mathcal {P}}$ ma il fatto che $\max _{t\in [0,1]}J(\zeta (t))\leq c-\varepsilon$ contraddice la definizione di $c$.

Visualizzazione

Il teorema può essere visualizzato con la metafora di un passo di montagna (da cui il nome al teorema). Partendo da un punto $u_{0}$ circondato da monti (punti che hanno altezza maggiore del punto in cui ci si trova) e camminando per raggiungere un punto $u_{1}$ fuori dalla catena montuosa, dovendo prima salire e poi scendere, si incontrerà necessariamente un punto critico. In base al teorema, il punto critico trovato è sempre un punto di sella. Questo rende il teorema piuttosto singolare, dato che la maggior parte dei teoremi di esistenza di punti critici riguardano punti di minimo e/o massimo.

Bibliografia

• Srinivasan Kesavan, Nonlinear functional analysis: a first course, Springer, 2004.

Voci correlate

• Calcolo delle variazioni