Punto di sella

In analisi matematica, un punto di sella di una funzione reale di più variabili reali $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ è un punto critico $P$ del dominio della $f$ in cui la matrice hessiana risulti indefinita: vale a dire non sia né una matrice semidefinita positiva, né una matrice semidefinita negativa. Ciò è equivalente a dire che la matrice hessiana ha un autovalore strettamente positivo ed uno strettamente negativo.

Un punto di sella (in rosso) del grafico di z=x²−y².

Nel caso $n=2$, il grafico della funzione ha una forma intorno a $P$ che ricorda la sella di un cavallo. In particolare, esistono due curve passanti per $P$ tali che, per la restrizione di $f$ su queste curve, $P$ è rispettivamente punto di minimo e punto di massimo relativo.

Esempio

Sia $f(x,y)=x^{2}-y^{2}\;$

Nel punto $P=(0,0)\;$ abbiamo un punto stazionario dato che il gradiente è nullo: infatti

${{\partial f} \over {\partial x}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=2x\to {{\partial f} \over {\partial x}}\left({0{\rm {,}}}0\right)=2\cdot 0=0\;$

${{\partial f} \over {\partial y}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=-2y\to {{\partial f} \over {\partial y}}\left({0{\rm {,}}}0\right)=-2\cdot 0=0\;$

La forma quadratica della funzione, nel punto $P=(0,0)\;$, è data dall'espressione sottostante:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left({0{\rm {,}}}0\right)\cdot a^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left({0{\rm {,}}}0\right)\cdot ab+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\left({0{\rm {,}}}0\right)\cdot b^{2}\;$

Ma:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=2;$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=0;$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=-2;$

pertanto, nel punto $P=(0,0)\;$, si ha:

$2a^{2}-2b^{2}\;$

Si può ora verificare semplicemente (ad esempio tramite la matrice hessiana corrispondente) che la forma quadratica non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa, per cui risulta essere indefinita, e quindi il punto $(0,0)$ è un punto di sella. La matrice hessiana è:

${\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}$

Visto che la matrice hessiana è già in forma diagonale, si vede anche immediatamente che gli autovalori sono $2$ e $-2$: avendo sia un autovalore positivo che uno negativo, la matrice hessiana è, per l'appunto, indefinita.

Si può anche osservare che in questo esempio la forma hessiana è $2a^{2}-2b^{2}\;$ in ogni punto, non solo in $(0,0)$. Questo non è casuale: dipende dal fatto che la funzione data era un polinomio di secondo grado e pertanto le sue derivate parziali seconde sono costanti.

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