Sia uno spazio di misura e una successione di funzioni misurabili su tale che esiste il limite:
-
Se esiste una funzione tale che
- ,
nel qual caso si dice dominata da , allora si ha:[1]
-
-
ovvero converge a in tutto
Dal momento che denota il limite quasi ovunque della successione , allora la successione è misurabile e dominata da , e quindi integrabile.
Si vuole mostrare che:
- per qualunque S contenuto in X.
Dal momento che:
-
e che:
- per ogni x
allora si può usare il lemma di Fatou inverso e si ha:
-
Ma dal momento che:
-
allora:
-
e il fatto che sia vero per ogni S ci consente di affermare che:
-
dimostrando la tesi.
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.