Teorema della convergenza dominata

In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite di una successione di funzioni commuta con l'operazione di integrazione.

Il teorema viene generalizzato dal teorema di convergenza di Vitali.

EnunciatoModifica

Sia   uno spazio di misura e   una successione di funzioni misurabili su   tale che esiste il limite:

 

Se esiste una funzione   tale che

 ,

nel qual caso   si dice dominata da  , allora si ha:[1]

 
 

ovvero  converge a   in tutto  

DimostrazioneModifica

Dal momento che   denota il limite quasi ovunque della successione  , allora la successione è misurabile e dominata da  , e quindi integrabile.

Si vuole mostrare che:

  per qualunque S contenuto in X.

Dal momento che:

 

e che:

  per ogni x

allora si può usare il lemma di Fatou inverso e si ha:

 

Ma dal momento che:

 

allora:

 

e il fatto che sia vero per ogni S ci consente di affermare che:

 

dimostrando la tesi.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 26.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlateModifica

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