Lemma di Fatou
In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).
Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Enunciato del lemma di Fatou
modificaSe è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura , allora:
Dimostrazione
modificaIl lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.
Sia il limite inferiore della successione . Per ogni intero si definisca la funzione:
cioè:
Allora la successione è tale che:
Se , allora , dunque:
quindi:
Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:
Esempi nel caso di disuguaglianza stretta
modificaSi definisca sullo spazio una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.
- Si consideri l'intervallo unitario , e per ogni intero positivo si definisca:
- Sia l'insieme dei numeri reali e si definisca:
Queste successioni convergono su puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni ha integrale uguale a .
Inverso del lemma di Fatou
modificaSia una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a esteso definita su uno spazio di misura . Se esiste una funzione non negativa , misurabile e con su , tale che per ogni n, allora:
Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da .
Estensioni e varianti del Lemma di Fatou
modificaEstremo inferiore integrabile
modificaSia una successione di funzioni misurabili a valori in esteso definita su uno spazio di misura . Se esiste una funzione non negativa e integrabile su tale che per ogni n, allora:
Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da .
Convergenza puntuale
modificaSe la successione appena presentata converge puntualmente ad una funzione quasi ovunque su , allora:
Infatti, si osservi che ha lo stesso limite inferiore delle quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.
Convergenza in misura
modificaL'ultima affermazione vale anche se la successione converge in misura ad una funzione . Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:
Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a , esiste una nuova successione, che converge puntualmente a quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.
Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato
modificaNella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali definite su uno spazio di probabilità , con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.
Sia una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità e sia una sotto-σ-algebra. Allora:
quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.
Dimostrazione
modificaAttraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.
Sia il limite inferiore di . Per ogni intero si definisca la variabile:
Allora la successione è crescente e converge puntualmente a . Per , si ha , e quindi:
quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:
quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.
Usando la definizione di , la sua rappresentazione come limite puntuale di , il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:
quasi certamente.
Estensione a parti negative uniformemente integrabili
modificaSia una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità e sia una sotto σ-algebra. Se le parti negative:
sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per esiste tale che:
quasi certamente, allora:
quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:
soddisfa:
il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.
Dimostrazione
modificaSia . A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste tale che:
quasi certamente. Dato che:
dove denota la parte positiva di , la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:
quasi certamente. Dal momento che:
si ha:
quasi certamente, e quindi:
quasi certamente. Questo prova l'asserto.
Bibliografia
modifica- H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) T.P. Lukashenko, Fatou theorem (on Lebesgue integrals), in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) Fatou's lemma, in PlanetMath.