In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Enunciato del lemma di Fatou

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Se   è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura  , allora:

 

Dimostrazione

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Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia   il limite inferiore della successione  . Per ogni intero   si definisca la funzione:

 

cioè:

 
 
 
 
 

Allora la successione   è tale che:

 

Se  , allora  , dunque:

 

quindi:

 

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:

 

Esempi nel caso di disuguaglianza stretta

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Si definisca sullo spazio   una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.

 
  • Sia   l'insieme dei numeri reali e si definisca:
 

Queste successioni   convergono su   puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni   ha integrale uguale a  .

Inverso del lemma di Fatou

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Sia   una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a   esteso definita su uno spazio di misura  . Se esiste una funzione non negativa  , misurabile e con   su  , tale che   per ogni n, allora:

 

Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da  .

Estensioni e varianti del Lemma di Fatou

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Estremo inferiore integrabile

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Sia   una successione di funzioni misurabili a valori in   esteso definita su uno spazio di misura  . Se esiste una funzione non negativa e integrabile   su   tale che   per ogni n, allora:

 

Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da  .

Convergenza puntuale

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Se la successione   appena presentata converge puntualmente ad una funzione   quasi ovunque su  , allora:

 

Infatti, si osservi che   ha lo stesso limite inferiore delle   quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

Convergenza in misura

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L'ultima affermazione vale anche se la successione   converge in misura ad una funzione  . Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:

 

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a  , esiste una nuova successione, che converge puntualmente a   quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Valore atteso condizionato.

Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali   definite su uno spazio di probabilità  , con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.

Sia   una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità   e sia   una sotto-σ-algebra. Allora:

 

quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

Dimostrazione

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Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia   il limite inferiore di  . Per ogni intero   si definisca la variabile:

 

Allora la successione   è crescente e converge puntualmente a  . Per  , si ha  , e quindi:

 

quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:

 

quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.

Usando la definizione di  , la sua rappresentazione come limite puntuale di  , il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:

 

quasi certamente.

Estensione a parti negative uniformemente integrabili

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Sia   una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità   e sia   una sotto σ-algebra. Se le parti negative:

 

sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per   esiste   tale che:

 

quasi certamente, allora:

 

quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:

 

soddisfa:

 

il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

Dimostrazione

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Sia  . A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste   tale che:

 

quasi certamente. Dato che:

 

dove   denota la parte positiva di  , la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:

 

quasi certamente. Dal momento che:

 

si ha:

 

quasi certamente, e quindi:

 

quasi certamente. Questo prova l'asserto.

Bibliografia

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  • H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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