Lemma di Fatou

In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Enunciato del lemma di Fatou

Se $f_{1},f_{2},\dots$ è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura $(S,\Sigma ,\mu )$ , allora:

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

Dimostrazione

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia $f$ il limite inferiore della successione $f_{n}$ . Per ogni intero $k$ si definisca la funzione:

g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}

cioè:

g_{1}=\inf {\left\{f_{1},f_{2},f_{3},\dots \right\}}

g_{2}=\inf {\left\{f_{2},f_{3},f_{4},\dots \right\}}

\dots

g_{n}=\inf {\left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}}

\dots

Allora la successione $g_{k}$ è tale che:

0\leq g_{1}\leq g_{2}\dots \leq g_{n}\dots \qquad g_{k}\uparrow \liminf _{n\to \infty }f_{n}\qquad g_{k}\leq f_{k}\qquad \forall k\in \mathbb {N}

Se $k\leq n$ , allora $g_{k}\leq f_{n}$ , dunque:

\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu

quindi:

\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

Esempi nel caso di disuguaglianza stretta

Si definisca sullo spazio $S$ una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.

Si consideri l'intervallo unitario $S:=[0,1]$ , e per ogni intero positivo $n$ si definisca:

f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\mbox{per }}x\in (0,1/n)\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}

Sia $S:={\mathbb {R} }$ l'insieme dei numeri reali e si definisca:

f_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{n}}&{\mbox{per }}x\in [0,n]\\\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}

Queste successioni $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ convergono su $S$ puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni $f_{n}$ ha integrale uguale a $1$ .

Inverso del lemma di Fatou

Sia $f_{1},f_{2},\dots$ una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a $\mathbb {R}$ esteso definita su uno spazio di misura $(S,\Sigma ,\mu )$ . Se esiste una funzione non negativa $g$ , misurabile e con $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$ su $S$ , tale che $f_{n}\leq g$ per ogni n, allora:

\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da $g-f_{n}$ .

Estensioni e varianti del Lemma di Fatou

Estremo inferiore integrabile

Sia $f_{1},f_{2},\dots$ una successione di funzioni misurabili a valori in $\mathbb {R}$ esteso definita su uno spazio di misura $(S,\Sigma ,\mu )$ . Se esiste una funzione non negativa e integrabile $g$ su $S$ tale che $f_{n}\geq -g$ per ogni n, allora:

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da $g+f_{n}$ .

Convergenza puntuale

Se la successione $f_{1},f_{2},\dots$ appena presentata converge puntualmente ad una funzione $f$ quasi ovunque su $S$ , allora:

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

Infatti, si osservi che $f$ ha lo stesso limite inferiore delle $f_{n}$ quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

Convergenza in misura

L'ultima affermazione vale anche se la successione $f_{1},f_{2},\dots$ converge in misura ad una funzione $f$ . Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:

\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a $f$ , esiste una nuova successione, che converge puntualmente a $f$ quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali $X_{1},X_{2},\dots$ definite su uno spazio di probabilità $(\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$ , con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.

Sia $X_{1},X_{2},\dots$ una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ e sia ${\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ una sotto-σ-algebra. Allora:

\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

Dimostrazione

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia $X$ il limite inferiore di $X_{n}$ . Per ogni intero $k$ si definisca la variabile:

Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}

Allora la successione $Y_{1},Y_{2},\dots$ è crescente e converge puntualmente a $X$ . Per $k\leq n$ , si ha $Y_{k}\leq Y_{n}$ , e quindi:

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.

Usando la definizione di $X$ , la sua rappresentazione come limite puntuale di $Y_{k}$ , il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:

{\begin{matrix}\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Big [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]\end{matrix}}

quasi certamente.

Estensione a parti negative uniformemente integrabili

Sia $X_{1},X_{2},\dots$ una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ e sia ${\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ una sotto σ-algebra. Se le parti negative:

X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\}\qquad n\in {\mathbb {N} }

sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per $\varepsilon >0$ esiste $c>0$ tale che:

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N}

quasi certamente, allora:

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:

X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}

soddisfa:

\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty

il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

Dimostrazione

Sia $\varepsilon >0$ . A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste $c>0$ tale che:

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N}

quasi certamente. Dato che:

X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}

dove $x^{+}:=\max\{x,0\}$ denota la parte positiva di $x\in \mathbb {R}$ , la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che: