Enunciato del lemma di Fatou
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Se
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }
è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura
(
S
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
, allora:
∫
S
lim inf
n
→
∞
f
n
d
μ
≤
lim inf
n
→
∞
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona .
Sia
f
{\displaystyle f}
il limite inferiore della successione
f
n
{\displaystyle f_{n}}
. Per ogni intero
k
{\displaystyle k}
si definisca la funzione:
g
k
=
inf
n
≥
k
f
n
{\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}}
cioè:
g
1
=
inf
{
f
1
,
f
2
,
f
3
,
…
}
{\displaystyle g_{1}=\inf {\left\{f_{1},f_{2},f_{3},\dots \right\}}}
g
2
=
inf
{
f
2
,
f
3
,
f
4
,
…
}
{\displaystyle g_{2}=\inf {\left\{f_{2},f_{3},f_{4},\dots \right\}}}
…
{\displaystyle \dots }
g
n
=
inf
{
f
n
,
f
n
+
1
,
f
n
+
2
,
…
}
{\displaystyle g_{n}=\inf {\left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}}}
…
{\displaystyle \dots }
Allora la successione
g
k
{\displaystyle g_{k}}
è tale che:
0
≤
g
1
≤
g
2
⋯
≤
g
n
…
g
k
↑
lim inf
n
→
∞
f
n
g
k
≤
f
k
∀
k
∈
N
{\displaystyle 0\leq g_{1}\leq g_{2}\dots \leq g_{n}\dots \qquad g_{k}\uparrow \liminf _{n\to \infty }f_{n}\qquad g_{k}\leq f_{k}\qquad \forall k\in \mathbb {N} }
Se
k
≤
n
{\displaystyle k\leq n}
, allora
g
k
≤
f
n
{\displaystyle g_{k}\leq f_{n}}
, dunque:
∫
S
g
k
d
μ
≤
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu }
quindi:
∫
S
g
k
d
μ
≤
inf
n
≥
k
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:
∫
S
lim inf
n
→
∞
f
n
d
μ
=
lim
k
→
∞
∫
S
g
k
d
μ
≤
lim
k
→
∞
inf
n
≥
k
∫
S
f
n
d
μ
=
lim inf
n
→
∞
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Esempi nel caso di disuguaglianza stretta
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Inverso del lemma di Fatou
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Sia
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }
una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
esteso definita su uno spazio di misura
(
S
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
. Se esiste una funzione non negativa
g
{\displaystyle g}
, misurabile e con
∫
S
g
d
μ
<
∞
{\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }
su
S
{\displaystyle S}
, tale che
f
n
≤
g
{\displaystyle f_{n}\leq g}
per ogni n , allora:
∫
S
lim sup
n
→
∞
f
n
d
μ
≥
lim sup
n
→
∞
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da
g
−
f
n
{\displaystyle g-f_{n}}
.
Estensioni e varianti del Lemma di Fatou
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Estremo inferiore integrabile
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Sia
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }
una successione di funzioni misurabili a valori in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
esteso definita su uno spazio di misura
(
S
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
. Se esiste una funzione non negativa e integrabile
g
{\displaystyle g}
su
S
{\displaystyle S}
tale che
f
n
≥
−
g
{\displaystyle f_{n}\geq -g}
per ogni n , allora:
∫
S
lim inf
n
→
∞
f
n
d
μ
≤
lim inf
n
→
∞
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da
g
+
f
n
{\displaystyle g+f_{n}}
.
Convergenza puntuale
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Se la successione
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }
appena presentata converge puntualmente ad una funzione
f
{\displaystyle f}
quasi ovunque su
S
{\displaystyle S}
, allora:
∫
S
f
d
μ
≤
lim inf
n
→
∞
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Infatti, si osservi che
f
{\displaystyle f}
ha lo stesso limite inferiore delle
f
n
{\displaystyle f_{n}}
quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.
Convergenza in misura
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L'ultima affermazione vale anche se la successione
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }
converge in misura ad una funzione
f
{\displaystyle f}
. Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:
lim
k
→
∞
∫
S
f
n
k
d
μ
=
lim inf
n
→
∞
∫
S
f
n
d
μ
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }
Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a
f
{\displaystyle f}
, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a
f
{\displaystyle f}
quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.
Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato
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Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali
X
1
,
X
2
,
…
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }
definite su uno spazio di probabilità
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )}
, con gli integrali che diventano i valori attesi . Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati .
Sia
X
1
,
X
2
,
…
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }
una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
e sia
G
⊂
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}
una sotto-σ-algebra . Allora:
E
[
lim inf
n
→
∞
X
n
|
G
]
≤
lim inf
n
→
∞
E
[
X
n
|
G
]
{\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}
quasi certamente . Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.
Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.
Sia
X
{\displaystyle X}
il limite inferiore di
X
n
{\displaystyle X_{n}}
. Per ogni intero
k
{\displaystyle k}
si definisca la variabile:
Y
k
=
inf
n
≥
k
X
n
{\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}}
Allora la successione
Y
1
,
Y
2
,
…
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }
è crescente e converge puntualmente a
X
{\displaystyle X}
.
Per
k
≤
n
{\displaystyle k\leq n}
, si ha
Y
k
≤
Y
n
{\displaystyle Y_{k}\leq Y_{n}}
, e quindi:
E
[
Y
k
|
G
]
≤
E
[
X
n
|
G
]
{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}
quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata , dunque:
E
[
Y
k
|
G
]
≤
inf
n
≥
k
E
[
X
n
|
G
]
{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}
quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto .
Usando la definizione di
X
{\displaystyle X}
, la sua rappresentazione come limite puntuale di
Y
k
{\displaystyle Y_{k}}
, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:
E
[
lim inf
n
→
∞
X
n
|
G
]
=
E
[
X
|
G
]
=
E
[
lim
k
→
∞
Y
k
|
G
]
=
lim
k
→
∞
E
[
Y
k
|
G
]
≤
lim
k
→
∞
inf
n
≥
k
E
[
X
n
|
G
]
=
lim inf
n
→
∞
E
[
X
n
|
G
]
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Big [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]\end{matrix}}}
quasi certamente.
Estensione a parti negative uniformemente integrabili
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Sia
X
1
,
X
2
,
…
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }
una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
e sia
G
⊂
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}
una sotto σ-algebra . Se le parti negative :
X
n
−
:=
max
{
−
X
n
,
0
}
n
∈
N
{\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\}\qquad n\in {\mathbb {N} }}
sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
esiste
c
>
0
{\displaystyle c>0}
tale che:
E
[
X
n
−
1
{
X
n
−
>
c
}
|
G
]
<
ε
∀
n
∈
N
{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N} }
quasi certamente, allora:
E
[
lim inf
n
→
∞
X
n
|
G
]
≤
lim inf
n
→
∞
E
[
X
n
|
G
]
{\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}
quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:
X
:=
lim inf
n
→
∞
X
n
{\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}
soddisfa:
E
[
max
{
X
,
0
}
|
G
]
=
∞
{\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty }
il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.
Sia
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste
c
>
0
{\displaystyle c>0}
tale che:
E
[
X
n
−
1
{
X
n
−
>
c
}
|
G
]
<
ε
∀
n
∈
N
{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N} }
quasi certamente. Dato che:
X
+
c
≤
lim inf
n
→
∞
(
X
n
+
c
)
+
{\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}}
dove
x
+
:=
max
{
x
,
0
}
{\displaystyle x^{+}:=\max\{x,0\}}
denota la parte positiva di
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
, la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:
E
[
X
|
G
]
+
c
≤
E
[
lim inf
n
→
∞
(
X
n
+
c
)
+
|
G
]
≤
lim inf
n
→
∞
E
[
(
X
n
+
c
)
+
|
G
]
{\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]}
quasi certamente. Dal momento che:
(
X
n
+
c
)
+
=
(
X
n
+
c
)
+
(
X
n
+
c
)
−
≤
X
n
+
c
+
X
n
−
1
{
X
n
−
>
c
}
{\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}}
si ha:
E
[
(
X
n
+
c
)
+
|
G
]
≤
E
[
X
n
|
G
]
+
c
+
ε
{\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }
quasi certamente, e quindi:
E
[
X
|
G
]
≤
lim inf
n
→
∞
E
[
X
n
|
G
]
+
ε
{\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }
quasi certamente. Questo prova l'asserto.
H.L. Royden, Real Analysis , Prentice Hall, 1988.
Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Collegamenti esterni
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