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Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

teorema in analisi funzionale

In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

EnunciatoModifica

Sia   un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach   e  . Allora   è una funzione aperta, ovvero se   è un insieme aperto in  , allora   è aperto in  .

DimostrazioneModifica

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1Modifica

Occorre provare che per ogni   e per ogni  , intorno di  ,   è un intorno di  . Per linearità risulta   ( ,  ), per cui è sufficiente provare l'affermazione per  . Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla  , è sufficiente provare che per ogni   esiste un   tale che  . Osserviamo inoltre che   ed anche, per linearità, che   per ogni  .

Per la suriettività di   si ha:

 .

Per il teorema della categoria di Baire esiste   tale che:  ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

 

deduciamo che   ha interno non vuoto.

Parte 2Modifica

Sia   un aperto di   tale che:

 

Ovviamente   contiene lo zero, ma occorre provare che esiste   tale che:

 

Siano   e  . Poiché l'applicazione   è un omeomorfismo, esiste un intorno   di zero in   tale che:

 

Si ha:

 

poiché   implica che  . Pertanto abbiamo provato che:

 

e quindi:

 

e   è un intorno di zero in  . Pertanto esiste   tale che:

 

Parte 3Modifica

Si vuole provare che  , cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che   risulta contenuto in  . Sia  . Si scelga   tale che  , cioè  . Per quanto detto in precedenza risulta:

 

quindi possiamo scegliere   tale che:

 , cioè  

Iterando il procedimento risulta definita una successione   in   tale che:

  e  

Risulta:

 

quindi esiste:

 

e si ha:

 

Quindi   e, per la continuità di  , risulta  . Da ciò segue che

 

ed il teorema è provato.

CorollariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della funzione inversa e Teorema del grafico chiuso.

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

  • Il teorema della funzione inversa afferma che se   è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach   e  , allora l'operatore inverso   è anch'esso continuo.
  • Il teorema del grafico chiuso afferma che se   è un operatore lineare tra gli spazi di Banach   e  , e se per ogni successione   in   tale che   e   segue che  , allora   è continuo.

BibliografiaModifica

  • (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
  • (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
  • (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
  • (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
  • (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlateModifica