Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio.[1] La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

EnunciatoModifica

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:

 , dove M è il punto medio di AB.

Prima dimostrazioneModifica

Ponendo:

 

Si ha:

 

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

 

sviluppando i calcoli si ottiene:

 

 

successivamente sommando membro a membro:

 

e infine:

 .

Seconda dimostrazioneModifica

Ponendo:

 

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:

 

 

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.

NoteModifica

  1. ^ Apollonio di Perga, su imati.cnr.it. URL consultato il 7 ottobre 2012.
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