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Teorema e figura

Il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

EnunciatoModifica

Il momento d'inerzia rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia iniziale rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo stesso e il quadrato della distanza tra gli assi c ed a.

 .

DimostrazioneModifica

 
Figura per la dimostrazione

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano xy con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse x di una certa quantità, in modo che le coordinate siano   e  , dove d è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).

Si consideri un elemento infinitesimo dm, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da  . Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento ( ) si ha che

 .

Ora calcoleremo direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse z. Si prenda dunque un elemento dm e si consideri il sistema di rif. traslato; poiché  , applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

 .

Sviluppando il quadrato si ottiene   e, raccogliendo, si ha

 .

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa  , calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità  , mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di x dm è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto (essendo sull'origine) è pari a 0.

Si ottiene quindi il risultato finale:

 

Voci correlateModifica

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