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L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume dei caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.

Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".

Indice

Definizione di distanzaModifica

Una distanza (o metrica) su un insieme   è una funzione

 

che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di   in  :

  1.  
  2.  
  3.   (simmetria)
  4.   (disuguaglianza triangolare)

La coppia   è chiamata spazio metrico.

In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre. Per esempio, se   allora la funzione   per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.

La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.

Infatti, sfruttando la 4 si ha   e  . Sommando ora membro a membro otteniamo

  infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in

  che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).

Distanza indotta da una normaModifica

Data una norma   è possibile definire una distanza   definendo

 .

Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:

  •  
  •  
  •  
  •  

Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori  ).

Distanze su spazi euclideiModifica

La distanza normalmente considerata in   è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:

 

Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri:  .

Più in generale nello spazio euclideo   si può definire la distanza tra due punti   e   nei seguenti modi:

 
  (distanza euclidea)
 , per ogni p reale maggiore o uguale ad 1
 

La 2-distanza in uno spazio a n dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato n-1 volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La 1-distanza, detta anche distanza L1 o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La ∞-distanza (o distanza L∞) è la cosiddetta distanza di Chebyshev.

Altre distanzeModifica

  • Su un qualsiasi insieme è possibile definire una distanza come  . Questa distanza è detta "distanza discreta" e fornisce all'insieme la topologia discreta. Questa distanza non è ricca di applicazioni, ma serve per completezza dell'esposizione formale.
  • Sull'insieme delle funzioni continue definite in un opportuno insieme A si può definire la distanza, detta "distanza del sup" o "dell'estremo superiore",  . Essa è la distanza indotta dalla cosiddetta norma uniforme. Questa distanza costituisce l'analoga continua della ∞-distanza definita su spazi finitodimensionali.
  • Nello spazio Lp, con p reale maggiore o uguale a 1, la distanza tra due funzioni distinte (a meno di equivalenza quasi ovunque) è definita come  .
  • L'insieme   dei numeri reali costituisce uno spazio metrico rispetto alla distanza data da  . Questa distanza, diversa da quella pitagorica, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero   è in generale diversa da  ).
  • Nell'insieme   di stringhe di lunghezza   costruite sopra l'alfabeto   si può definire la "distanza di Hamming" come   (dove con   si indica la cardinalità di  ). Si noti che la distanza di Hamming si può considerare che riguardi due vettori (assimilabili a stringhe) sul campo finito  .

Nel caso di uno spazio di Hilbert  , il teorema della proiezione afferma che per ogni punto   e per ogni insieme convesso chiuso   esiste un unico   tale per cui   assume il valore minimo su  . In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso   di  : in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per   è che il vettore   sia ortogonale a  .

Dischi associati a una distanzaModifica

Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto   di un certo raggio   positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da   meno di  :

 

Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".

Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme

 .

L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme   determinata da questa base si dice topologia generata (o indotta) dalla distanza  .

È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.

Distanze equivalentiModifica

Due distanze   e   si dicono equivalenti se l'applicazione identità

 

è un omeomorfismo.

Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza d è equivalente a quella data dalla funzione   ed a quella data dalla funzione  .

Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.

GeneralizzazioniModifica

Se si indeboliscono le richieste su   si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:

  • Perdendo una delle due implicazioni della proprietà 2 ma richiedendo solamente che   (cioè ammettendo che punti distinti possano avere distanza nulla) si ottiene una pseudometrica. La sua importanza è grande nel campo di teoria della relatività e analisi funzionale, dove questi spazi si incontrano spesso. È il tipo di distanza indotto da una seminorma.
  • Perdendo la proprietà 3 si ottiene una quasimetrica.
  • Perdendo la proprietà 4 si ottiene una semimetrica.
  • Perdendo parzialmente la proprietà 2 nel senso sopra e la proprietà 3 si ottiene una emimetrica.
  • Perdendo parzialmente la proprietà 2 e le proprietà 3 e 4 si ottiene una parametrica. Da notare che, nonostante questo sia chiaramente lo spazio più povero di tutti, è ancora possibile definire una topologia a partire da uno spazio parametrico, nello stesso esatto modo descritto sopra.

Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che

 

si ottiene una cosiddetta ultrametrica.

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