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Il momento di inerzia misura l'inerzia del corpo al variare della sua velocità angolare, una grandezza fisica utile per descrivere il comportamento dinamico dei corpi in rotazione attorno ad un asse. Tale grandezza è definita come il secondo momento della massa rispetto alla posizione.

Il momento d'inerzia ha due forme, una forma scalare (usata quando si conosce l'asse di rotazione ), e una forma tensoriale , più generale, che non necessita della conoscenza dell'asse di rotazione. La forma scalare può essere calcolata per ogni asse dalla forma tensoriale usando il prodotto scalare:

dove la sommatoria è sui tre assi delle coordinate cartesiane. Il momento d'inerzia scalare I è spesso chiamato semplicemente momento di inerzia.

Indice

IntroduzioneModifica

Il concetto fu introdotto da Eulero nel suo libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum nel 1765. Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un dato asse descrive quanto è difficile cambiare il suo moto angolare attorno al proprio asse. Per esempio, si considerino due dischi (A e B) della stessa massa. Il disco A ha un raggio più grande del disco B. Assumendo che abbiano spessore e massa distribuiti uniformemente, è più difficile accelerare il disco A (cambiare la sua velocità angolare) poiché la sua massa è distribuita in maniera tale da essere più distante del suo asse di rotazione: la massa che è più distante dall'asse deve avere, fissata la velocità angolare, più velocità, e quindi più energia rispetto alla massa che è più vicina al centro di rotazione. In questo caso il disco A ha un momento d'inerzia maggiore del disco B.

 
Tuffatrici che minimizzano il loro momento d'inerzia per aumentare la loro velocità di rotazione.

Il momento di inerzia di un corpo è funzione della sua geometria, in particolare di come è distribuita la massa al suo interno. Il momento d'inerzia nella sua forma scalare è utile per risolvere numerosi problemi, per esempio spiega perché oggetti diversi che rotolano (come sfere, cilindri o anelli) su un piano inclinato con attrito lo fanno con accelerazioni diverse. Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore. Tuttavia, per problemi più complicati in cui l'asse di rotazione cambia, il trattamento scalare è inadeguato, per esempio nei giroscopi, satelliti e tutti gli oggetti il cui allineamento cambia.

Il momento d'inerzia finora trattato è anche chiamato momento d'inerzia di massa per distinguerlo dal momento di inerzia di superficie usato ad esempio nella scienza delle costruzioni, che è chiamato anch'esso momento d'inerzia ed è indicato con lo stesso simbolo I. Nel sistema internazionale l'unità di misura del momento di inerzia di massa è il   mentre per il momento di inerzia di superficie è il  .

Nei moti rotatori, il momento d'inerzia gioca il ruolo che ha la massa nei moti lineari.

Momento d'inerzia scalareModifica

Sistema di punti materialiModifica

Sia z l'asse di rotazione fisso di un sistema di n punti materiali. Indicando con   (con  ) le distanze di tali punti dall'asse di rotazione e con   le loro masse. In questo caso il momento di inerzia rispetto all'asse z è definito come:

 

Si può notare che i punti materiali che si trovano più lontani dall'asse di rotazione danno un maggiore contributo. Utilizzando il momento di inerzia è possibile esprimere in modo semplice il momento angolare di un sistema di n particelle che si comporta come un corpo rigido (in cui cioè le distanze reciproche tra i punti materiali non variano). Indicando con   le velocità tangenziali delle particelle e con   la loro velocità angolare (uguale per tutti i punti se il corpo è rigido):

 

In modo analogo l'energia cinetica del corpo rotante è:

 

Corpo rigidoModifica

È possibile estendere la definizione di momento di inerzia di massa anche ad un corpo rigido di volume  , se si considera tale corpo come un sistema di punti materiali, ciascuno caratterizzato da un volume   ed una massa   (dove   è la densità); in tale caso il contributo di momento di tale elemento di volume al momento di inerzia totale è dato da   (essendo   la distanza dell'elemento dall'asse di rotazione). Il momento di inerzia si ottiene allora sommando tutti i contributi e passando al continuo, cioè per  :

 

Se il corpo è omogeneo (la sua densità è quindi una funzione costante) ed è caratterizzato da particolari simmetrie, allora il calcolo dell'integrale risulta particolarmente semplice.

Si consideri ad esempio un cilindro omogeneo di massa  , raggio   e altezza   (per cui  ). La misura del generico elemento di volume è data da   (vedi figura a destra) e il momento di inerzia rispetto all'asse del cilindro è dato da:

 
Vari momenti di inerzia
 
 
 
 
 

Calcolo del momento di inerzia di alcuni solidi omogeneiModifica

Rispetto all'asse di simmetria passante per il centro di massaModifica

Momento d'inerzia del conoModifica

Per calcolarlo si consideri il momento finale come la somma dei momenti di inerzia dei dischi con altezza infinitesima dz (fissando l'origine del sistema di riferimento alla punta del cono orientato verso il basso). Il raggio del singolo disco varia linearmente al variare di   secondo il rapporto   diviso   (  raggio di base,   altezza cono). L'elemento infinitesimo di massa lo si calcola utilizzando   (densità volumetrica) moltiplicato per il volume del cilindro di altezza  . Integrando il momento di inerzia del disco da 0 a   si ottiene il risultato finale.

 
 

Momento di inerzia della sferaModifica

Il momento finale sarà ottenuto sommando i momenti di inerzia dei dischi di spessore infinitesimo   (fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto). Il raggio del singolo disco varia secondo la funzione che descrive un arco di circonferenza nel primo quadrante, da un minimo di 0 (con  , raggio della sfera) ad un massimo di   stesso. L'elemento infinitesimo di massa è ottenuto utilizzando ρ (densità volumetrica) moltiplicato per il volume del cilindro di altezza  . Integrando il momento di inerzia del disco da   a   si ottiene il risultato finale.

 
 

Momento di inerzia del parallelepipedoModifica

Calcolato rispetto all'asse z passante per il baricentro del parallelepipedo. Si è tenuto conto solamente della definizione del momento di inerzia e della densità di massa:

 

Rispetto ad un asse parallelo ad uno passante per il centro di massaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Huygens-Steiner.

Il momento rispetto ad un asse  , parallelo ad un altro   passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a   il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al quadrato tra gli assi   ed  .

 

Momento di inerzia di superficie per figure geometriche pianeModifica

Il momento di inerzia di superficie delle figure piane rispetto a un asse è utilizzato frequentemente nell'ingegneria civile e nell'ingegneria meccanica. Infatti esso è direttamente correlato alla resistenza della sezione di un elemento soggetto a flessione rispetto ai carichi ortogonali all'asse di riferimento. In pratica il momento d'inerzia è una grandezza che indica l'attitudine di una figura piana a ruotare rispetto ad un asse di riferimento, maggiore è il momento d'inerzia, minore è l'attitudine a ruotare che mostrerà la sezione.

Il caso tipico è quello della trave. Se le forze sulla trave hanno direzione y, si calcola il momento di inerzia della sezione secondo l'asse x (ortogonale a y) passante per il baricentro della sezione della trave. In pratica, a parità di materiale, quanto più è elevato il momento di inerzia tanto più risulta resistente la trave. Inoltre, quanto più il materiale è lontano dall'asse passante per il suo baricentro, tanto più aumenta il momento di inerzia. Per accorgersene è sufficiente constatare che nelle formule seguenti per il calcolo del momento di inerzia l'altezza h delle diverse figure è con esponente 3. Le travi in acciaio presentano spesso una sezione a I (profilati IPE, o NP), oppure ad H (profilati HE), proprio per sfruttare il più possibile il materiale ponendolo lontano dal baricentro della sezione.

Momenti di inerzia (o del secondo ordine) delle sezioni più comuniModifica

I momenti di inerzia sono calcolati rispetto all'asse orizzontale baricentrale (asse x) e, in particolare, quelli del rettangolo e del triangolo anche rispetto a un asse parallelo a quello baricentrale tramite il teorema di Huygens-Steiner. La densità degli oggetti è da considerarsi unitaria.

Rettangolo:
   
   
Triangolo:
   
   
Cerchio:
   
Ellisse:
   

Variazione dell'orientamento e delle dimensioni di una figura geometrica pianaModifica

Si vogliono presentare alcuni esempi per capire meglio come l'orientamento delle figure geometriche, e le loro dimensioni, entrano in gioco nel calcolo del momento di inerzia. Si prenda come esempio una delle figure geometriche più semplici, il rettangolo, assumendo un'area di 8 cm², con un lato di 2 cm e l'altro di 4 cm. Dapprima si prenda l'asse per il quale si vuole calcolare il momento di inerzia parallelo al lato di 4 cm e passante per il baricentro, poi si prenda un altro asse parallelo al lato di 2 cm, sempre passante per il baricentro.

Nel primo caso si ha   e  , per cui:

 

Nel secondo caso si ha   e  , per cui:

 

cioè un valore 4 volte maggiore rispetto al primo caso. Inoltre, mantenendo l'area del rettangolo sempre uguale a 8 centimetri quadrati e il lato più lungo ortogonale all'asse, si consideri ora una rettangolo di lati   e   (in pratica si è "stirato" il rettangolo di partenza mantenendo invariata l'area). Si ha:

 

cioè un valore 4 volte maggiore del secondo caso e 16 volte maggiore del primo, ottenuto sempre con un rettangolo di uguale area. Quanto appena detto si estende ovviamente anche ai corpi solidi.

Momento di inerzia di un poligonoModifica

Si consideri un poligono   contenuto nel piano x y, avente n vertici di coordinate  , si considerino inoltre i vettori  , si dimostra che (formula dell'area di Gauss) numerando i vertici in modo che il generico vertice i sia adiacente al vertice i+1 l'area è data da:

 

dove con l'operazione   si intende la norma con il segno del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra   e   e inoltre per convenzione si assume che:

 

I momenti di inerzia di un generico poligono di n vertici rispetto agli assi x e y saranno rispettivamente:

 
 
 

Analogamente per un prisma retto di altezza   avente come base un poligono contenuto nel piano x y avremo che i rispettivi momenti di inerzia sono:

 
 

Tensore d'inerziaModifica

L'energia cinetica di un corpo in rotazione risulta essere una forma quadratica omogenea delle componenti del vettore velocità angolare. In generale si potrà allora scrivere:

 

in cui si intende la sommatoria rispetto agli indici ripetuti. Per mostrare che   è un tensore covariante del secondo ordine è necessario mostrare che esso si trasforma come un vettore del suo genere. Tale verifica è però banale, in quanto l'energia cinetica è uno scalare, ed è pertanto invariante per un cambio di coordinate:

 

Per le leggi di trasformazione del vettore   la precedente diventa:

 

Da questa è ora facile far discendere che:

 

ovvero che   è un tensore covariante del secondo ordine.

Uno stesso oggetto può avere differenti momenti di inerzia a seconda dell'asse di rotazione. Per esempio, tre momenti di inerzia associati ai tre assi cartesiani   non sono necessariamente uguali a causa della non simmetria dell'oggetto:

  momento di inerzia lungo la linea attraverso il centro di massa e parallela all'asse x
  momento di inerzia lungo la linea attraverso il centro di massa e parallela all'asse y
  momento di inerzia lungo la linea attraverso il centro di massa e parallela all'asse z

Una sfera a densità costante avrà momenti uguali qualsiasi asse di rotazione passante per il centro della sfera sia considerato. Per un cubo   se è allineato con gli assi.

Le quantità  ,  ,   fanno parte del tensore momento di inerzia   le cui componenti sono definite come:

 

dove l'indice   denota la componente l-esima della distribuzione di masse e   è il delta di Kronecker.

Se la massa   è unica e omogenea le componenti del momento di inerzia si esprimono come:

 

In termini matriciali è anche:

 

per un sistema di   punti con massa   individuati dalle coordinate cartesiane  . Poiché questo tensore è una matrice reale simmetrica, per il teorema spettrale è possibile trovare un sistema di coordinate cartesiane (una base ortonormale) rispetto al quale la matrice è diagonale:

 

dove gli assi (gli autovettori della matrice) sono chiamati assi principali e le costanti  ,   e   (gli autovalori) sono chiamati momenti principali di inerzia e sono usualmente ordinati in ordine crescente:

 

Chiamando i vettori unitari lungo gli assi principali   in quanto righe della matrice identità tridimensionale, la rotazione intorno a quello degli assi principali d'inerzia per il quale il momento d'inerzia non è né massimo, né minimo, non è stabile. Per un solido di rotazione omogeneo l'asse di rotazione è un asse principale d'inerzia.

Il momento d'inerzia rispetto ad un qualunque asse passante per il centro di massa si può anche esprimere come la distanza dal centro alla quale tale asse interseca la superficie di un ellissoide i cui semiassi, orientati lungo gli assi principali, sono lunghi  ,  ,   . Tale ellissoide è detto ellissoide d'inerzia.

Impiego in meccanicaModifica

Usando il tensore  , si possono esprimere:

 
 
 

Per dimostrare queste equazioni si utilizzano il prodotto tensoriale e l'identità di Lagrange.

L'energia potenziale rotazionale infine esiste se e solo se:

 

Elenco riassuntivo dei principali momenti di inerziaModifica

Di seguito un elenco riassuntivo dei principali momenti di inerzia; per una trattazione più approfondita vedere più avanti nella pagina.

Massa puntiformeModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Massa puntiforme m a distanza r dall'asse di rotazione.   Una massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il teorema degli assi paralleli (Huygens-Steiner) si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.
Due masse puntiformi, M e m, con massa ridotta   e separate da una distanza, x.  

AstaModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Asta di lunghezza L e massa m
(asse di rotazione alla fine dell'asta)
     [1] Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione alla fine della piastra, e con h = L e w = 0.
Asta di lunghezza L e massa m      [1] Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con w = L e h = 0.

CirconferenzaModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Circonferenza sottile di raggio r e massa m    
 
Questa espressione vale anche per un anello abbastanza sottile da essere approssimabile a una circonferenza, ed è un caso particolare sia del toro per b = 0 (vedi più in basso), che del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=r2 e h = 0.

DiscoModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Disco solido e sottile, di raggio r e massa m    
 
Questo è un caso particolare del cilindro solido, con h = 0.
Semidisco sottile, di raggio r e massa m   Si può ottenere questo risultato molto semplicemente, considerando il momento d'inerzia di un disco rispetto al suo centro di massa come somma dei momenti d'inerzia di due dischi rispetto al centro dei loro diametri. Dopodiché, si applica il teorema di Huygens-Steiner all'nverso (distanza del centro del diametro dal centro di massa   ). Analogamente al disco, questo è un caso particolare del semicilindro solido, con h = 0:

CilindroModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m      [1] Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). È un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e r1=r2.

Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia.

Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m      [1]
 
Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=0. (Nota: in questa immagine gli assi X-Y sono scambiati rispetto agli assi cartesiani standard di una terna X-Y-Z destrorsa)
Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno r1, raggio esterno r2, lunghezza h e massa m      [1][2]
 

 
o definendo lo spessore normalizzato tn = t/r e ponendo r = r2,
allora  

con densità ρ e la stessa geometria  

   

Semicilindro solido di raggio r, altezza h e raggio r   Vedi il semidisco per il calcolo

SferaModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Sfera (cava) di raggio r e massa m      [1] Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di circonferenze infinitamente sottili, una sopra l'altra, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).
Sfera (piena) di raggio r e massa m      [1] Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).

Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r.

ConoModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Cono (pieno) circolare retto con raggio r, altezza h e massa m      [3]
   [3]

ToroModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Toro con raggio del tubo (raggio del cerchio rosso) a, distanza dal centro del tubo al centro del toro (raggio del cerchio rosa) b e massa m.   Intorno al diametro:    [4]

Intorno all'asse verticale:    [4]

EllissoideModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Ellissoide (solido) di semiassi a, b, e c, con asse di rotazione a e massa m    

PiastraModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m
(Asse di rotazione all'estremità della piastra)
   
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m      [1]

ParallelepipedoModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m    
 
 
Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza  :  .
Parallelepipedo solido di altezza D, larghezza W, lunghezza L e massa m con asse lungo la diagonale più lunga.     Per un cubo di lato  ,  .

Poligono pianoModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Poligono piano con vertici   e

massa   uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.

    Questa espressione assume che il poligono sia stellato. I vettori  ,  ,  , ...,   sono i vettori posizione dei vertici.

Disco con massa distribuita normalmenteModifica

Descrizione Figura Momento di inerzia Commento
Disco infinito con massa distribuita normalmente su due assi intorno all'asse di rotazione

(per esempio:   dove   è la densità della massa in funzione di x e y).

   

NoteModifica

  1. ^ a b c d e f g h Raymond A. Serway, Physics for Scientists e Engineers, second ed., Saunders College Publishing, 1986, p. 202, ISBN 0-03-004534-7.
  2. ^ (EN) Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder[collegamento interrotto], LivePhysics.com. URL consultato il 31 gennaio 2008.
  3. ^ a b Ferdine P. Beer e E. Russell Johnston, Jr, Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, 1984, p. 911, ISBN 0-07-004389-2.
  4. ^ a b Eric W. Weisstein, Moment of Inertia — Ring, Wolfram Research. URL consultato il 25 marzo 2010.

BibliografiaModifica

  • (LA) Leonhard Euler, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata, Cornell University Library, 1º gennaio 1765, ISBN 978-1-4297-4281-8.
  • (EN) JB Marion e ST Thornton, Classical dynamics of particles & systems, 4ª ed., Thomson, 1995, ISBN 0-03-097302-3.
  • (EN) KR Symon, Mechanics, 3ª ed., Addison-Wesley, 1971, ISBN 0-201-07392-7.
  • (EN) Kane T. R. e Levinson D. A., Dynamics, Theory and Applications, New York, McGraw-Hill, 1985.
  • (EN) Beer Ferdinand P., E. Russell Johnston e Jr., Phillip J. Cornwell, Vector mechanics for engineers: Dynamics, 9th ed., Boston, McGraw-Hill, 2010, ISBN 978-0-07-729549-3.

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