Teorema di Menelao

Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Enunciato

Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1.$

In questa equazione, $AF$, $FB$, ecc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione $AF/FB$ ha segno positivo solo quando la retta per $D$, $E$ ed $F$ interseca il lato $AB$.

Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:

$AB=-BA$

Dimostrazione

Teorema di Menelao, caso 1: la retta DEF non interseca il triangolo ABC.

Teorema di Menelao, caso 2: la retta DEF interseca il triangolo ABC.

Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta $DEF$ non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta $DEF$ interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).

Si costruiscano le perpendicolari da $A$, $B$ e $C$ su $DEF$, le chiamo rispettivamente $a$,$b$ e $c$. Ora per similitudine di triangoli, segue che:

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|\ ,\ \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|\ ,\ \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|$

Cioè:

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1$

Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.

Per l'altro verso dell'implicazione:

siano $D,\ E$ ed $F$ appartenenti rispettivamente alle rette $BC,\ AC$ e $AB$, in modo che l'equazione valga. Sia $F'$ il punto in cui le rette $DE$ e $AB$ si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche $D,\ E$ ed $F'$ verificano l'equazione. Confrontandole:

${\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}$

Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:

$F=F'.$

Voci correlate

• Assioma di Pasch
• Teorema di Ceva

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Collegamenti esterni

• (EN) Menelaus’ theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Menelao, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Branko Grünbaum, G. C. Shepard, Ceva, Menelaus, and the Area Principle (PDF), in Mathematical Magazine, vol. 68, Mathematical Association of America, ottobre 1995, 254-268.
• Giuseppe Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann, Fratelli Bocca Editori, 1888, pp. 44-48. http://mathematica.sns.it/opere/138/