Teorema di Pick

Teorema matematico

Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere.

Poligono costruito su una griglia di punti. Applicando il teorema di Pick si ha: i = 39, p = 14, da cui A = 39 + 14/2 - 1 = 39 + 7 - 1 = 45.

Trattazione formaleModifica

In un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere, siano:

  •   il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;
  •   il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).

L'area   del poligono può essere calcolata tramite la formula:

 

DimostrazioneModifica

Osserviamo innanzitutto che ogni poligono è decomponibile in triangoli. La dimostrazione del teorema di Pick equivale dunque a dimostrare le seguenti tesi:

Consideriamo un poligono   risultante dall'unione di due poligoni   e  , i cui lati condividono   punti di contatto a coordinate intere. Vogliamo dimostrare che  , dove   è la formula di Pick. Per il poligono   si ha

 

Il primo punto è stato dimostrato. Per dimostrare il secondo punto, si procede per gradi, prima dimostrando il teorema per rettangoli, poi per triangoli rettangoli particolari, e infine considerando i triangoli più generici come somme o differenze di tali figure elementari. Questo è lecito proprio perché l'additività è stata dimostrata.

Applicando il teorema ad un rettangolo con i lati   e   rispettivamente paralleli ai due assi, si ha:

 

che è corretto. Per un triangolo rettangolo di cateti   e   e la cui ipotenusa non ha punti a coordinate intere (eccetto gli estremi), si ha:

 

che è corretto. I triangoli rettangoli con punti sull'ipotenusa possono essere suddivisi decomposti in rettangoli e triangoli rettangoli senza punti sull'ipotenusa, dunque il teorema vale per tutti i triangoli rettangoli. Per i triangoli non rettangoli, infine, basta notare che sono ottenibili tramite somme e differenze di figure per cui è già stato dimostrato che la formula vale.

Il secondo punto è stato dimostrato, dunque la tesi iniziale è valida.

BibliografiaModifica

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