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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Poligono (disambigua).
Alcuni poligoni: i primi due sono convessi, il terzo è concavo, il quarto è intrecciato e stellato.

In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").

Indice

DefinizioneModifica

Una definizione di poligono è la seguente.

Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata semplice chiusa.

Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è chiusa quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è semplice (o non intrecciata) se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).

Il punto in comune a due lati consecutivi è detto vertice.

Sulla parte delimitataModifica

Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan.

Una definizione costruttiva è la seguente: un punto   del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti in   intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.

ClassificazioneModifica

Numero di latiModifica

Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).

ConvessitàModifica

Un poligono è:

semplice
se i lati del poligono non si intersecano.
complesso (o intrecciato) 
 
Un poligono intrecciato.
se non è semplice.

Un poligono semplice è:

convesso
se ogni angolo interno è minore o uguale ad un angolo piatto (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di ogni segmento che congiunge due suoi vertici va al di fuori del poligono).
concavo
se anche un solo angolo interno è maggiore di   (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di uno o più segmenti cade all'interno del poligono).

Simmetria con uguaglianzaModifica

In base alla simmetria, un poligono è:

equilatero
se tutti i suoi lati sono uguali.
equiangolo
se tutti i suoi angoli sono uguali.
ciclico
se tutti i suoi vertici giacciono su un'unica circonferenza.
regolare
se è convesso, equilatero ed equiangolo (o, equivalentemente, se è ciclico ed equilatero).
irregolare
se non è regolare.

ProprietàModifica

AngoliModifica

 
Un poligono irregolare

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati ( ), meno due

 

Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:

 

La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è  , e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con   lati è uguale a

 

In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a   volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.

AreaModifica

Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con   vertici aventi coordinate cartesiane   nel modo seguente:

 

con la convenzione che  .

Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.

Nomi di poligonoModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

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