Teorema di Rellich-Kondrakov

In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi , mentre Kondrashov fornì il caso di .

EnunciatoModifica

Sia   un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia  . Sia

 

allora

  • se  , lo spazio di Sobolev   è immerso con continuità nello spazio Lp  , ed è immerso con compattezza nello spazio  , per ogni  :  
  • se p=n, lo spazio di Sobolev   è immerso con compattezza nello spazio  , per ogni  :  
  • se p>n, lo spazio di Sobolev   è immerso con compattezza nello spazio  :  

ConseguenzeModifica

Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in   possiede una sottosuccessione convergente in  . Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.

Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per   (dove   soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):

 

per qualche costante   dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio  , dove:

 

denota il valor medio di   su  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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