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In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse.

Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.

EnunciatoModifica

Siano   e   due funzioni la cui convoluzione è indicata da  . Sia   l'operatore trasformata di Fourier, sicché   e   sono le trasformate di   e   rispettivamente. Allora:

 

dove   denota la moltiplicazione. Si ha anche che:

 

Applicando la trasformata inversa  , si ottiene:

 

Si noti che la relazione è valida esclusivamente per le forme della trasformata mostrate nella dimostrazione riportata in seguito. Il teorema è valido anche per la trasformata di Laplace.

DimostrazioneModifica

La dimostrazione presentata è mostrata per una particolare normalizzazione della trasformata di Fourier: nei casi in cui la normalizzazione sia differente, nella derivazione compare un fattore scalare.

Siano  ,   appartenenti a  . Sia   la trasformata di Fourier di   e   la trasformata di  :

 
 

dove il punto tra   e   indica il prodotto interno a  . Sia   la convoluzione di   e  :

 

Si nota che:

 

e quindi, per il teorema di Fubini, si ha che  , e dunque la sua trasformata   è definita dalla formulazione integrale:

 

Dal momento che:

 

grazie a quanto detto sopra si può applicare nuovamente il teorema di Fubini:

 

Sostituendo   si ha quindi  , e dunque:

 
 
 

Questi due integrali definiscono   e  , così:

 

come si voleva dimostrare.

Convoluzione discretaModifica

Si può mostrare in modo simile che la convoluzione discreta di due successioni   e   è data da:

 

dove   è la trasformata di Fourier a tempo discreto.

Un importante caso particolare è la convoluzione circolare di   e   definita da  , dove   è una sommazione periodica:

 

Si può allora mostrare che:

 

dove   è la trasformata discreta di Fourier. Infatti,   può essere scritta come:

 

così che il suo prodotto con   è una funzione discreta:

 

La DTFT inversa è:

 

come si voleva dimostrare.

BibliografiaModifica

  • (EN) Yitzhak Katznelson, An introduction to Harmonic Analysis (Dover), 1976, ISBN 0-486-63331-4.
  • (EN) Arfken, G. "Convolution Theorem." §15.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 810-814, 1985.
  • (EN) Bracewell, R. "Convolution Theorem." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 108-112, 1999.

Voci correlateModifica

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