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In matematica, la trasformata di Fourier a tempo discreto, spesso abbreviata con DTFT (acronimo del termine inglese Discrete-Time Fourier Transform), è una trasformata che a partire da un segnale discreto ne fornisce una descrizione periodica nel dominio della frequenza, analogamente alla trasformata di Fourier tradizionale (definita per funzioni continue).

Si tratta di un caso particolare della trasformata zeta:

che si ottiene ponendo . Dal momento che , la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

DefinizioneModifica

Dato un insieme di numeri interi complessi  , con  , la sua trasformata di Fourier a tempo discreto è la serie:

 

La trasformata inversa permette di ottenere la funzione originale a partire dalla sua trasformata:

 

Relazione con il campionamentoModifica

La trasformata di Fourier a tempo discreto ha un ruolo rilevante quando si studiano segnali campionati, ovvero segnali a tempo discreto ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso  . La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua   nel segnale discreto:

 

con   la frequenza di campionamento. Il teorema del campionamento pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad   se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di aliasing). La trasformata a tempo discreto fornisce un'approssimazione della trasformata di Fourier  :

 

Infatti, considerando la formula di sommazione di Poisson, che mostra come ottenere una sommazione periodica di una funzione   a partire dai campioni di una funzione tempo-continua, si ha:

 

dove   include copie esatte di   traslate di un multiplo di   e combinate per addizione. Per   sufficientemente grande il termine   può essere osservato nella regione  , con distorsione minima o nulla. Un altro modo per verificare questo fatto è il seguente:

 

Calcolando la trasformata di Fourier inversa di entrambi i membri dell'equazione precedente, inoltre, si ottiene il pettine di Dirac modulato:

 

con:

 

Ingresso periodicoModifica

Se la successione in ingresso   è periodica con periodo N è possibile espandere il pettine di Dirac in serie di Fourier, ottenendo la trasformata discreta di Fourier (DFT):

 

Tale relazione mostra che la periodicità nel tempo rende discontinua la trasformata di Fourier a tempo discreto. Si può tuttavia ridurre la formula integrale in una somma di N termini:

 
 

che è periodica in  .

Campionamento della DTFTModifica

Se la trasformata di Fourier a tempo discreto è una funzione continua, si usa spesso considerare un numero arbitrario di campioni di un ciclo della funzione periodica  :

 

dove   è la sommazione periodica:

 

La successione   è l'inversa della trasformata discreta di Fourier. In questo modo il campionamento così effettuato comporta che la trasformata inversa sia periodica.

Per valutare numericamente un ciclo di   è richiesta una successione   di lunghezza finita. A tal fine spesso si tronca una successione per mezzo di una funzione finestra di lunghezza opportuna.[1][2]

Trasformate notevoliModifica

Siano   il dominio tempo-discreto,   la frequenza angolare (un numero reale in   misurato in radianti / campione),   il gradino di Heaviside tempo-discreto,   la funzione sinc normalizzata,   la delta di Dirac,   la delta di Kronecker,   la funzione rettangolo:

 

e   la funzione triangolo:

 
Dominio temporale
 
Dominio della frequenza
 
Remarks
   
      intero
      intero
    Il termine   deve essere interpretato come una distribuzione.
     
     
     
     
      intero
     
     
   
 
    Filtro differenziatore
   
 
   
    Trasformata di Hilbert
     

ProprietàModifica

Siano   la convoluzione discreta di due successioni e   il complesso coniugato di  .

Proprietà Dominio temporale   Dominio della frequenza   Remarks
Linearità    
Traslazione temporale       intero
Traslazione in frequenza      
Inversione temporale    
Coniugazione temporale    
Inversione temporale e coniugazione    
Derivata    
Integrale    
Convoluzione    
Moltiplicazione     Convoluzione periodica
Cross-correlazione    
Teorema di Parseval    

La trasformata può essere inoltre decomposta sia in parte reale e immaginaria, sia in due funzioni rispettivamente pari e dispari:

 
Dominio del tempo
 
Dominio della frequenza
 
   
   

NoteModifica

  1. ^ Charles Constantine Gumas, Window-presum FFT achieves high-dynamic range, resolution, in Personal Engineering & Instrumentation News, luglio 1997, pp. 58–64.
  2. ^ Richard G. Lyons, DSP Tricks: Building a practical spectrum analyzer, EE Times, giugno 2008.

BibliografiaModifica

  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series, 1999, ISBN 0-13-754920-2.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems, MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA, MIT Press, 1986.
  • Boaz Porat, A Course in Digital Signal Processing, John Wiley and Sons, pp. 27–29 and 104–105, ISBN 0-471-14961-6.

Voci correlateModifica