Teorema di Weyl (algebra lineare)

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In algebra lineare, il teorema di Weyl, anche detto disuguaglianza di Weyl o teorema di monotonicità di Weyl, caratterizza gli autovalori della matrice somma di due matrici hermitiane.

EnunciatoModifica

Siano   e   due matrici hermitiane   con autovalori   e   rispettivamente. Siano   gli autovalori della matrice  , si ha:

 

per  .

DimostrazioneModifica

Si considerino le seguenti diagonalizzazioni:

 

dove  ,   e   sono unitarie. Dette  ,   e   le colonne di  ,   e  , si considerino gli spazi:

 
 
 

con   fissati. Applicando la formula delle dimensioni si ottiene:

 

Allora esiste un vettore   di norma euclidea:

 

perciò:

 

con  . Inoltre dato che   è unitaria e che  :

 

usando la diagonalizzazione unitaria di  . Con lo stesso ragionamento:

 ,  

Da queste ultime tre disuguaglianze si ricava la prima disuguaglianza del teorema:

 

Per la seconda disuguaglianza del teorema si procede in modo analogo.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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