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In algebra lineare una matrice hermitiana (dal nome del matematico francese Charles Hermite) o matrice autoaggiunta è una matrice a valori complessi che coincide con la propria trasposta coniugata (o matrice aggiunta). Una matrice hermitiana con elementi nel campo dei numeri reali è dunque una matrice simmetrica.

Le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali.

Indice

DefinizioneModifica

Una matrice   di elementi   è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

 

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di   è denotata con  , quindi se   è hermitiana si scrive:

 

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco   è usato per indicare sia la complessa coniugata   che  .

Un esempio di matrice hermitiana è:

 

ProprietàModifica

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma  , dove   è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e   è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane   e  , invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se  .

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione  : gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi (  e  ), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto   non è hermitiana (mentre lo è  ).

Ogni matrice hermitiana   di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale:   è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di   sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di   formata solo da autovettori di  . Se n autovettori ortonormali   di una matrice hermitiana   sono scritti come colonne di una matrice  , allora la decomposizione spettrale di   è data da:

 

dove   e dunque:

 

dove   sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale  .

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti,   da cui  ; quindi se   allora  . In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

BibliografiaModifica

  • (EN) F.R. Gantmacher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
  • (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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