Teorema di rappresentazione dei numeri reali

In matematica, il teorema di rappresentazione dei numeri reali o teorema di rappresentazione in base consente di rappresentare un numero reale utilizzando numeri interi.

Enunciato

Il teorema afferma che dato un numero reale $x$ e un numero intero $\beta$, detto base, si può rappresentare $x$ come:

$x=\operatorname {sgn} (x)(c_{1}\beta ^{-1}+c_{2}\beta ^{-2}+\dots +c_{p}\beta ^{-p})\beta ^{p}=\operatorname {sgn} (x)\beta ^{p}\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}=\operatorname {sgn} (x)m\beta ^{p}$

dove:

• $\operatorname {sgn} (x)$ è la funzione segno:

$\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}x>0\\0,&{\mbox{se }}x=0\\-1,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.$

• Il numero intero $p$ è detto esponente o caratteristica di $x$

• I numeri interi $c_{i}$ sono detti cifre, con $0\leq c_{i}\leq \beta -1$. Nel caso di rappresentazione normalizzata $c_{1}\neq 0$, mentre nel caso in cui esista un indice $k$ tale che $c_{k}\neq 0{\mbox{ e }}c_{i}=0$ per $i>k$ la rappresentazione si dice rappresentazione finita di lunghezza $k$.

• Il numero:

$m=\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}\qquad {\frac {1}{\beta }}\leq m<1$

è detto mantissa di $x$, mentre $\beta ^{p}$ è detta parte esponente di $x$.

Se si scartano le rappresentazioni in cui si abbia, definitivamente in $i$, $c_{i}=\beta -1$, e se $x\neq 0$ la rappresentazione normalizzata è unica.

Il numero reale $x$ può essere rappresentato nella base $\beta$ attraverso la notazione posizionale o la notazione mista. Ad esempio, il numero reale $\alpha$ di nome quattrocentocinque rappresentato in base $\beta =10$ diventa:

$\alpha =+(4\times 10^{-1}+0\times 10^{-2}+5\times 10^{-3})10^{3}$

con:

$c_{1}=4,{\mbox{ }}c_{2}=0,{\mbox{ }}c_{3}=5;$ e $p=3$

Bibliografia

• George E. Andrews, The Number Theory, Courier Dover Publications, 1971, p. 8.