Teoria di Newton-Cartan

riformulazione geometrica della gravità newtoniana

La teoria di Newton-Cartan (o gravitazione newtoniana geometrizzata) è una riformulazione geometrica della gravità newtoniana introdotta per la prima volta da Élie Cartan[1][2] e Kurt Friedrichs[3] e successivamente sviluppata da Dautcourt,[4] Dixon,[5] Dombrowski e Horneffer, Ehlers, Havas,[6] Künzle,[7] Lottermoser, Trautman,[8] e altri. In questa riformulazione, le somiglianze strutturali tra la teoria di Newton e la teoria della relatività generale di Albert Einstein sono facilmente visibili, ed è stata usata da Cartan e Friedrichs per dare una formulazione rigorosa del modo in cui la gravità newtoniana può essere vista come un limite specifico della relatività generale, e da Jürgen Ehlers di estendere questa corrispondenza a soluzioni specifiche della relatività generale.

Spaziotempo classico

modifica

Nella teoria di Newton-Cartan, si inizia con una varietà quadridimensionale liscia   e definisce due metriche (degeneri). Una metrica temporale   con segnatura  , utilizzato per assegnare lunghezze temporali ai vettori su   e una metrica spaziale   con segnatura   . Si richiede anche che queste due metriche soddisfino una condizione di trasversalità (o "ortogonalità"),   . Pertanto, si definisce uno spaziotempo classico come un quadrupla ordinata  , dove   e   sono come descritti,   è un operatore di derivata covariante compatibile con le metriche; e le metriche soddisfano la condizione di ortogonalità. Si potrebbe dire che uno spaziotempo classico è l'analogo di uno spaziotempo relativistico  , dove   è una metrica lorentziana liscia sulla varietà   .

Formulazione geometrica dell'equazione di Poisson

modifica

Nella teoria della gravità di Newton, l'equazione di Poisson si scrive come

 

dove   è il potenziale gravitazionale,   è la costante gravitazionale e   è la densità di massa. Il principio di equivalenza debole motiva una versione geometrica dell'equazione del moto per una particella puntiforme nel potenziale  

 

dove   è la massa inerziale e   la massa gravitazionale. Poiché, secondo il principio di equivalenza debole  , la corrispondente equazione del moto

 

non contiene più un riferimento alla massa della particella. Seguendo l'idea che la soluzione dell'equazione è quindi una proprietà della curvatura dello spazio, si costruisce una connessione in modo che l'equazione geodetica

 

rappresenta l'equazione del moto di una particella puntiforme nel potenziale   . La connessione che ne risulta è

 

insieme a   e   (   ). La connessione è stata costruita in un sistema inerziale ma può essere dimostrata valida in qualsiasi sistema inerziale mostrando l'invarianza di   e   sotto trasformazioni di Galileo. Il tensore di curvatura di Riemann nelle coordinate del sistema inerziale di questa connessione è quindi dato da

 

dove le parentesi   stanno a significare la combinazione antisimmetrica del tensore  . Il tensore di Ricci è dato da

 

che porta alla seguente formulazione geometrica dell'equazione di Poisson

 

Più esplicitamente, se gli indici i e j spaziano sulle coordinate spaziali 1, 2, 3, allora la connessione è data da

 

il tensore di curvatura di Riemann è dato da

 

e il tensore di Ricci e lo scalare di Ricci è dato da

 

dove tutti i componenti non elencati sono uguali a zero.

Si noti che questa formulazione non richiede l'introduzione del concetto di metrica: la sola connessione fornisce tutte le informazioni fisiche.

  1. ^ Élie Cartan, Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (PDF), in Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, vol. 40, n. 325, 1923, DOI:10.24033/asens.751.
  2. ^ Élie Cartan, Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) (PDF), in Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, vol. 41, n. 1, 1924, DOI:10.24033/asens.753.
  3. ^ Kurt Friedrichs, Eine invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und des Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz, in Mathematische Annalen, vol. 98, 1927, pp. 566–575, DOI:10.1007/bf01451608.
  4. ^ G. Dautcourt, Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie, in Acta Physica Polonica, vol. 65, 1964, pp. 637–646.
  5. ^ W. G. Dixon, On the uniqueness of the Newtonian theory as a geometric theory of gravitation, in Communications in Mathematical Physics, vol. 45, 1975, pp. 167–182, Bibcode:1975CMaPh..45..167D, DOI:10.1007/bf01629247.
  6. ^ Peter Havas, Four-Dimensional Formulations of Newtonian Mechanics and Their Relation to the Special and the General Theory of Relativity, in Review of Modern Physics, vol. 36, n. 4, pp. 938–965, Bibcode:1964RvMP...36..938H, DOI:10.1103/revmodphys.36.938.
  7. ^ H. Künzle, Covariant Newtonian limit of Lorentz space-times, in General Relativity and Gravitation, vol. 7, n. 5, 1976, pp. 445–457, Bibcode:1976GReGr...7..445K, DOI:10.1007/bf00766139.
  8. ^ Andrzej Trautman, Foundations and current problems of general relativity, a cura di Jürgen Deser e K. W. Ford, vol. 98, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1965, pp. 1–248.

Bibliografia

modifica
  Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica