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In matematica, la derivata covariante estende il concetto usuale di derivata (più precisamente di derivata direzionale) presente nell'ordinario spazio euclideo ad una varietà differenziabile arbitraria. Tramite la derivata covariante è possibile calcolare la derivata di un campo vettoriale o di un più generale campo tensoriale in un punto, lungo una direzione fissata.

La nozione di derivata covariante è essenzialmente equivalente a quella di connessione. Su una varietà differenziabile, è possibile scegliere fra una infinità di possibili connessioni, e quindi di possibili nozioni di derivata covariante. In una varietà riemanniana esiste invece una nozione appropriata di connessione (la connessione di Levi-Civita) e quindi di derivata covariante.

Tramite la derivata covariante si definiscono vari tensori che misurano la curvatura della varietà. Fra questi, il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci. Tutti questi ingredienti sono utili in relatività generale.

Indice

DefinizioneModifica

Derivata di un campo vettoriale rispetto ad un altro campo vettorialeModifica

Sia   una varietà differenziabile. Sia   l'insieme di tutti i campi vettoriali su  . Una derivata covariante per   è un operatore

 

L'immagine   viene generalmente indicata con  . L'operatore deve soddisfare le proprietà seguenti.

 
  • Linearità a sinistra, con   interpretato come modulo sull'anello delle funzioni lisce su  :
 
 

Nelle suddette eguaglianze   sono funzioni lisce su   (cioè campi scalari),   sono scalari (cioè funzioni costanti),   sono campi vettoriali.

Il prodotto   fra una funzione liscia e un campo vettoriale è un campo vettoriale ottenuto riscalando in ogni punto   il vettore di   per il termine  . Il termine   è l'usuale derivazione di una funzione lungo un campo vettoriale, univocamente determinata da  . Interpretando i vettori tangenti proprio come derivazioni di funzioni lisce, questo termine è spesso indicato con  .

Una derivata covariante  , definita in questo modo, può essere quindi interpretata in altri modi, sostituendo   e   con altri oggetti.

Derivata di un campo vettoriale lungo un vettoreModifica

La condizione di linearità a sinistra è più forte di quella richiesta a destra. Come conseguenza di questo fatto, il valore di   in un punto   dipende in realtà soltanto dal valore di   in  , e non dai valori che assume nei punti vicini (come invece accade per  ). Questa proprietà permette quindi di definire, per ogni vettore tangente   in   e per ogni campo vettoriale  , la derivata covariante di   lungo  

 

Il risultato di questa operazione è un vettore tangente in  , che misura la variazione del campo   lungo la direzione  .

Derivata di un campo vettorialeModifica

Un campo vettoriale è un campo tensoriale di tipo (1,0). Se si omette il campo base  , la derivata covariante

 

di un campo vettoriale   è in modo naturale un campo tensoriale di tipo (1,1). Si tratta del campo che, contratto su un campo vettoriale  , restituisce il campo vettoriale  .

Derivata di un campo tensorialeModifica

Una derivata covariante   trasforma i tensori di tipo   in tensori di tipo (1,1). Si estende in modo naturale ad un operatore che trasforma i tensori di tipo   in tensori di tipo  . Esiste infatti un'unica estensione a tensori arbitrari che soddisfi le proprietà seguenti:

  •  
  •  

Simboli di ChristoffelModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Simbolo di Christoffel.

Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di   ed un aperto   di  . Nell'aperto   sono definiti i campi di vettori coordinati locali   e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di  , la derivata covariante del campo   nella j-esima direzione è una combinazione lineare

 

Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Gli oggetti   sono funzioni regolari (i.e., sono funzioni differenziabili)

 

dipendenti da tre indici, e sono detti simboli di Christoffel. Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori: il loro comportamento dipende fortemente dalla carta scelta. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante   nell'intorno di un punto.

Derivata covariante di un campo tensorialeModifica

La derivata covariante di un campo vettoriale   può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

 

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

 

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

 

In generale, per un campo tensoriale di tipo (n, m) la derivata covariante si calcola secondo la formula:

 

Derivata covariante in teoria dei campiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria di Yang-Mills, Simmetria di gauge ed Elettrodinamica quantistica.

In teoria dei campi il concetto di derivata covariante compare quando si considerano teorie invarianti sotto trasformazioni interne locali, come le teorie di Yang-Mills. Per esempio, l'elettrodinamica quantistica è una teoria di gauge nella quale la lagrangiana è invariante sotto trasformazioni U(1) locali. La lagrangiana dell'elettrone libero è data da:

 

mentre la trasformazione agisce nel modo seguente:

 

Andando a sostituire i campi trasformati nella lagrangiana si nota subito che a causa della derivata   essa non è invariante. Si introduce perciò una derivata covariante tale che:

 
 

La condizione da richiedere sulle   (che, a meno di un fattore costante, sono i simboli di Christoffel) è che a sua volta si trasformi come:

 

Di conseguenza, scrivendo (si sottintendono le dipendenze dalle coordinate)

 

si ottiene una teoria invariante sotto le cosiddette trasformazioni di gauge di seconda specie, descritte da:

 

Il campo   è interpretato fisicamente come il campo elettromagnetico, mentre il termine

 

rappresenta il termine di interazione tra il campo dell'elettrone e il campo elettromagnetico, con e uguale alla carica elettrica dell'elettrone.

BibliografiaModifica

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
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  • (EN) Shlomo Sternberg, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964.
  • (EN) Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.

Voci correlateModifica