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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando l'equazione dell'isoentropica, vedi Trasformazione adiabatica#Trasformazione reversibile.

In analisi matematica, l'equazione di Poisson è un'equazione alle derivate parziali ellittica di larghissimo utilizzo in elettrostatica, meccanica e termotecnica. Il suo nome deriva dal matematico e fisico francese Siméon-Denis Poisson.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   una funzione definita sulla chiusura dell'insieme   di   a valori in  .

L'equazione di Poisson per   ha la forma:[1]

 

dove   è l'operatore di Laplace o laplaciano e   è definita in   a valori in  . Nello spazio euclideo l'operatore di Laplace è spesso denotato con  .

In coordinate cartesiane in tre dimensioni l'equazione prende la forma:

 

L'equazione di Poisson omogenea è l'equazione di Laplace:

 

Formula risolutivaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Laplace.

Si consideri la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace nella sua forma più generale:[2]

 

dove   denota il volume della bolla di raggio unitario in  . Per definizione, tale funzione è armonica per   non nullo. Se si pone di traslare l'origine nel punto   si ottiene che   è ancora una funzione armonica per  .

Si consideri la funzione   di classe C2 a supporto compatto. L'associazione:

 

è armonica per ogni   di  .

Allora la convoluzione:

 

è di classe C2 ed è soluzione dell'equazione di Poisson.[3]

SoluzioniModifica

Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:

 

integrata su  .

Si dimostra che la soluzione dell'equazione di Poisson è unica se vengono fissate opportune condizioni al contorno.[4] In particolare, se in una regione limitata:

 

allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:

 

dove   è un punto arbitrario tale che:

 

L'equazione di Poisson può essere risolta usando una funzione di Green, ed esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il metodo del rilassamento, un algoritmo iterativo, ne è un esempio.

Teorema di unicitàModifica

Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che il gradiente della soluzione dell'equazione è unico per una vasta classe di condizioni al contorno. Nell'ambito dell'elettrostatica questo significa che una volta trovato un potenziale che soddisfa l'equazione e le condizioni al contorno, allora il campo elettrico è univocamente determinato.

Infatti, l'espressione generale dell'equazione di Poisson in elettrostatica è:

 

dove   è il potenziale e   il campo.

Per dimostrare il teorema, si supponga che vi siano due soluzioni   e  . Definendo:

 

poiché sia   sia   soddisfano l'equazione di Poisson,   deve soddisfare:

 

Utilizzando l'identità:

 

dato che il secondo termine è nullo si ha:

 

e considerando l'integrale di volume su tutto lo spazio (determinato dalle condizioni al contorno) si ricava:

 

Applicando il teorema della divergenza:

 

dove   sono le superfici di frontiera, specificate dalle condizioni al contorno. Dato che   e  , allora   ovunque quando l'integrale di superficie si annulla: quindi si ha anche  . Pertanto il gradiente della soluzione è unico se:

 

Affinché ciò sia vero, le condizioni al contorno di Dirichlet sono che   sia ben definita sulla frontiera del dominio, ovvero poiché   sulla frontiera si ha   e il rispettivo integrale di superficie si annulla. Le condizioni al contorno di Neumann sono che   sia ben definito sulla frontiera del dominio, ovvero poiché   sulla frontiera si ha   e il rispettivo integrale di superficie si annulla.

Equazione di Poisson su un cerchioModifica

L'equazione di Poisson può in teoria essere risolta analiticamente su qualsiasi dominio semplicemente connesso del piano complesso. Infatti il teorema di Weierstrass afferma che è possibile trasformare un dominio semplicemente connesso nel cerchio unitario tramite una trasformazione conforme biunivoca. Nel cerchio unitario l'equazione di Poisson ha soluzione in coordinate polari  :

 

con   la condizione al contorno sul cerchio unitario e:

 

che può essere espresso in vari modi:

 

Funzione di Green per l'equazione di Laplace in tre dimensioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di Green.

Si consideri un sistema descritto dall'equazione di Poisson:

 

Poiché il laplaciano è un operatore differenziale lineare, la soluzione   può essere scritta come un integrale esteso alla distribuzione sorgente  :

 

dove la funzione di Green è la distribuzione   che consente di ottenere la risposta del sistema in   a una sorgente puntiforme, descritta attraverso la delta di Dirac  , posta in  :

 

La funzione di Green per l'equazione di Laplace in tre dimensioni è uno strumento spesso utilizzato in fisica, ad esempio nella descrizione dell'interazione di un corpo carico con il campo elettromagnetico generato da una sorgente puntiforme  .

ElettrostaticaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Maxwell.

Alla base dell'elettrostatica vi sono le due equazioni di Maxwell che descrivono il comportamento del campo elettrico:

 

dove la seconda equazione, per il fatto che il rotore del gradiente è nullo, può essere scritta come:

 

In altre parole, il campo elettrico è definito come il gradiente di una funzione scalare  . Trovare   è un importante problema pratico, essendo il modo usuale per trovare il potenziale elettrico a partire da una data distribuzione di cariche. Sostituendo l'espressione del campo elettrico nella prima delle due equazioni di Maxwell sopra citate si ottiene l'equazione di Poisson, che nelle unità SI ha la forma:[5]

 

dove   è il potenziale elettrico, misurato in volt,   è la densità di carica, misurata in coulomb su metri cubi, e   è la costante dielettrica del vuoto, in farad al metro. Fissate le condizioni al contorno, la soluzione è unica, e pertanto il potenziale è completamente determinato dalla distribuzione spaziale di carica.

In una regione di spazio dove non c'è distribuzione di carica si ottiene l'equazione omogenea:

 

e l'equazione per il potenziale diventa un'equazione di Laplace.

Potenziale di una densità di carica gaussianaModifica

Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria sferica gaussiana  :

 

dove   è la carica totale, allora la soluzione   dell'equazione di Poisson

 

è data da:

 

dove   indica la funzione errore. Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di  . Si noti che, per   maggiore di  ,   tende all'unità e il potenziale   tende al potenziale di una carica puntiforme:

 

NoteModifica

  1. ^ Evans, Pag. 20
  2. ^ Evans, Pag. 22
  3. ^ Evans, Pag. 23
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 108
  5. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 107

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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