Topologie operatoriali debole e forte

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, le topologie operatoriali debole e forte sono due topologie operatoriali sull'insieme degli operatori limitati tra due spazi di Hilbert e . Come suggerito dal nome, la topologia operatoriale debole è più debole della topologia operatoriale forte.

Definizioni

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Topologia operatoriale debole

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La topologia operatoriale debole è la topologia più debole su   tale che il funzionale che manda un operatore limitato   in   risulti continuo per ogni   e  , dove   denota lo spazio duale  . Per il teorema di rappresentazione di Riesz, una base di intorni di un operatore limitato   è data dalla famiglia di insiemi

 

al variare di   e di   di cardinalità finita.

La topologia operatoriale debole non va confusa con la topologia debole per spazi di Banach su  . Questa infatti è la topologia più debole che rende continui tutti i funzionali lineari limitati su  , non solo quelli della forma  .

Topologia operatoriale forte

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La topologia operatoriale forte è la topologia più debole su   tale che il funzionale che manda un operatore limitato   in   risulti continuo per ogni  . Una base di intorni di un operatore limitato   è data dalla famiglia di insiemi

 

al variare di   e di   di cardinalità finita.

Bibliografia

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  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Bounded Operators, in Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.


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