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Teorema di rappresentazione di Riesz

In analisi funzionale, con teorema di rappresentazione di Riesz si identificano diversi teoremi, che prendono il nome dal matematico ungherese Frigyes Riesz.

Nel caso si consideri uno spazio di Hilbert, il teorema stabilisce un collegamento importante tra lo spazio e il suo spazio duale. Se il campo associato allo spazio è il campo dei numeri reali, i due spazi sono isometricamente isomorfi, mentre se il campo è quello dei numeri complessi i due spazi sono isometricamente anti-isomorfi.

Indice

Teorema di rappresentazione per funzionali lineari su Modifica

Sia   uno spazio di Hausdorff localmente compatto e   un funzionale lineare positivo in  , lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto e a valori complessi. Allora esiste una sigma-algebra   su   contenente tutti i suoi insiemi di Borel, ed esiste un'unica misura   su   tale che:[1]

 

per ogni funzione   di  , e tale che valgano le seguenti proprietà:[2]

  •   per ogni insieme compatto   di  .
  • Per ogni insieme di Borel   in   si ha:
 
  • Per ogni insieme   in   di misura finita si ha:
 

Si dice che la misura   "rappresenta" il funzionale  .

GeneralizzazioneModifica

Poiché lo spazio   è un sottoinsieme denso dello spazio di Banach   delle funzioni continue che si annullano all'infinito, ogni funzionale lineare a supporto compatto può essere esteso ad un funzionale lineare limitato su  .[3] Il teorema può essere quindi generalizzato affermando che per ogni funzione limitata   di   esiste un'unica misura di Borel regolare   su   tale che:[4]

 

e tale che:

 

dove:

 

è la variazione totale della misura  .

Teorema di rappresentazione per gli spazi di HilbertModifica

Sia   uno spazio di Hilbert e sia   il suo spazio duale, costituito di tutti i funzionali lineari continui da   in   o in  . Se   è un elemento di  , la funzione   definita da:

 

dove   indica il prodotto scalare dello spazio di Hilbert, è un elemento di  .[5] Allora ogni elemento di   può essere scritto unicamente in tale forma.

Come corollario, segue che data una funzione   che associa ad ogni coppia di elementi   e   lo scalare   tale che:

  •  
  •  
  •  

per ogni   e  , allora esiste un'unica applicazione lineare limitata   tale che:

  •  

La norma di   è inoltre la più piccola costante   tale che  .[6]

DimostrazioneModifica

Si vuole mostrare che se   è uno spazio di Hilbert allora il suo duale   è dato da:

 

dove   denota l'insieme degli operatori lineari limitati che mappano da   in un campo di scalari   (reale o complesso), mentre   denota il prodotto interno.

Per mostrare l'implicazione diretta è sufficiente notare che la linearità discende dalla linearità del prodotto interno, e la limitatezza segue dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Per l'implicazione inversa, sia  . Se   allora:

 

Si supponga   e siano:

 

Allora per il teorema della proiezione negli spazi di Hilbert:

 

Dato che   allora  . Sia dunque:

 

Per la linearità di   si ha:

 

e quindi:

 

dunque:

 

Si ha così   con  , da cui:

 

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 40
  2. ^ W. Rudin, Pag. 41
  3. ^ W. Rudin, Pag. 130
  4. ^ W. Rudin, Pag. 131
  5. ^ Reed, Simon, Pag. 43
  6. ^ Reed, Simon, Pag. 44

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (FR) M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 144, 1414–1416.
  • (FR) F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
  • (FR) F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
  • (EN) J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(2) 1984–85, 127–187.
  • (EN) P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
  • (EN) P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
  • (EN) D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277–280 (A category theoretic presentation as natural transformation).

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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