Trasformato secondo Burkholder

Nella teoria delle probabilità il trasformato secondo Burkholder è un processo stocastico $(Y_{n})_{n\geqslant 0}$ ottenuto a partire da una filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}$ e due processi $(X_{n})_{n\geqslant 0}$ e $(V_{n})_{n\geqslant 1}$, che hanno le seguenti proprietà:

• $(X_{n})_{n\geqslant 0}$ è adattato rispetto a ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}$
• $(V_{n})_{n\geqslant 1}$ è prevedibile rispetto a ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}$

Per ogni $n\geqslant 0$ la variabile aleatoria $Y_{n}$ è così definita:

${\begin{cases}Y_{0}=X_{0}\\Y_{n}-Y_{n-1}=V_{n}(X_{n}-X_{n-1}),\forall {n>0}\end{cases}}\Longrightarrow Y_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}V_{k}(X_{k}-X_{k-1})$

Trasformato di una martingala

Si assume per ipotesi che le $Y_{n}$ siano integrabili. Allora valgono i seguenti fatti:

(a) se $(X_{n})_{n}$ è una ${\mathcal {F}}$-martingala, allora anche $(Y_{n})_{n}$ è una ${\mathcal {F}}$-martingala

(b) se $(X_{n})_{n}$ è una ${\mathcal {F}}$-submartingala e $V_{n}>0,\forall {n\geqslant 0}$, allora anche $(Y_{n})_{n}$ è una ${\mathcal {F}}$-submartingala

Dimostrazione

Si ricorda che il processo stocastico $(Y_{n})_{n}$ è una martingala se soddisfa le seguenti proprietà:

1. $(Y_{n})_{n}$ è adattato rispetto a ${\mathcal {F}}$
2. tutti gli $Y_{n}$ sono integrabili
3. $E[Y_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n-1}$, ossia la previsione condizionale di $Y_{n}$ sapendo ${\mathcal {F}}_{n-1}$ è pari a $Y_{n-1}$, per ogni $n$

Se il processo $(Y_{n})_{n}$ è una submartingala il punto (3) deve verificare che $E[Y_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1}]\geqslant Y_{n-1}$

Verifica punto (1)

Osservando la formula del trasformato $Y_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}V_{k}(X_{k}-X_{k-1})$ si ricava che:

• $(X_{k}-X_{k-1})$ è ${\mathcal {F}}_{k}$-misurabile, in quanto il processo $(X_{n})_{n}$ è adattato rispetto alla filtrazione ${\mathcal {F}}$
• $V_{k}$ è ${\mathcal {F}}_{k}$-misurabile, in quanto il processo $(V_{n})_{n}$ è prevedibile rispetto alla filtrazione ${\mathcal {F}}$
• Da ciò ne segue che il prodotto $V_{k}(X_{k}-X_{k-1})$ è ${\mathcal {F}}_{k}$-misurabile e la somma fino a $n$ è ${\mathcal {F}}_{n}$-misurabile

Il punto (1) è verificato in quanto tutti gli $Y_{n}$ sono ${\mathcal {F}}_{n}$-misurabili e ciò implica che tutto il processo $(Y_{n})_{n}$ è adattato rispetto a ${\mathcal {F}}$.

Verifica punto (2)

Il punto (2) è verificato per ipotesi.

Verifica punto (3)

Applicando la formula del trasformato si ha che $E[Y_{n}-Y_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=E[V_{n}(X_{n}-X_{n-1})|{\mathcal {F}}_{n-1}]$

Dato che $V_{n}$ è ${\mathcal {F_{n-1}}}$-misurabile può uscire dalla previsione in quanto costante.

$E[V_{n}(X_{n}-X_{n-1})|{\mathcal {F}}_{n-1}]=V_{n}E[X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]$

Essendo $(X_{n})_{n}$ una ${\mathcal {F}}$-martingala si ha che $E[X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=0$ per definizione e quindi anche $V_{n}E[X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=0$ (punto 3 verificato)

Nel caso in cui $(X_{n})_{n}$ sia una submartingala $E[X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]\geqslant 0$e quindi anche $V_{n}E[X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]\geqslant 0$ (punto 3 verificato)

Bibliografia

Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione, Milano, McGraw-Hill, 1998, ISBN 88-386-0737-0.

Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità, Milano, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6365-9.

Francesca Biagini, Massimo Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Milano, Springer, 2006, ISBN 88-470-0330-X.