Trasformazione binomiale

In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

Descrizione

La trasformazione binomiale di una successione $\{a_{k}\}$ è la successione $\{s_{n}\}$ definita come:

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}$

Formalmente si può scrivere $(Ta)_{n}=s_{n}$, dove $T$ è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita $\{T_{nk}\}$:

$s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}$

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

$TT=1$

o equivalentemente:

$\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}$

dove $\delta$ è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}$

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

$s_{0}=a_{0}$

$s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}$

$s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}$

$\dots$

$s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}$

dove $\Delta$ è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

$t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}$

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}$

Operatore di Shift

La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$

dove $B_{n}$ sono i numeri di Bell.

Funzione generatrice

La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

e:

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}$

allora:

$g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{x-1}}\right)$

Generalizzazione

Si può definire un'altra trasformazione ponendo:

$u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}$

che fornisce:

$U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)$

dove $U$ e $B$ sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie $\{u_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}$

Si ponga questa somma uguale alla funzione ${\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}$. Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elementi di ogni riga per formare una nuova successione $\{b_{n}\}$ allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:

${\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}$

Ripetendo questo procedimento k volte segue che:

${\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}$

il cui inverso è:

${\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}$

Si può generalizzare ciò come:

${\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}$

dove $\mathbf {E}$ è l'operatore di shift. Il suo inverso è:

${\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}$

Bibliografia

• (EN) John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• (EN) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• (EN) Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform Archiviato il 12 marzo 2007 in Internet Archive.
• (EN) Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• (EN) Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Voci correlate

• Differenza finita
• Somma di Eulero
• Spazio delle successioni
• Successione (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) Helmut Prodinger - Some information about the binomial transform, su math.sun.ac.za. URL consultato il 13 marzo 2008 (archiviato dall'url originale il 12 marzo 2007).