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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando altri significati di numero duale, vedi Duale.

In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, introdotti nel XIX secolo da William Clifford, ottenuta aggiungendo a essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali, nonostante non possiedano le proprietà di un campo, costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi. Essi trovano diverse applicazioni in fisica, sia nelle teorie classiche, sia in quelle riguardanti la relatività einsteiniana e la fisica delle particelle.

Algebra dei numeri dualiModifica

Indicato con   l'elemento nilpotente, ogni numero duale può quindi essere scritto nella forma:

 ,

dove   e   sono numeri reali, e vale la relazione

 .

L'elemento   ha una funzione analoga all'unità immaginaria dei numeri complessi, e spesso viene definito anch'esso unità immaginaria.

In generale, è possibile eseguire le normali operazioni algebriche sui numeri duali, considerando   come una variabile e avendo cura di sostituire   con 0 quando  . È così possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri duali   e  :

 

Con le operazioni sopra descritte, i numeri duali formano un'algebra associativa e commutativa dotata di unità.

DivisioneModifica

L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:

 

La divisione è definita per  , per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo.

Calcolo numerico delle derivateModifica

L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio  , è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto  ; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:

 .

Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:

 .

RappresentazioniModifica

Rappresentazione matricialeModifica

I numeri duali sono identificabili con le matrici reali   della forma:

 

che rappresenta il numero  .

In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice

 

Rappresentazione polareModifica

È possibile definire il modulo di un numero duale come:

 .

La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione  , mentre l'equivalente della formula di Eulero è:

 .

Dato allora il numero  , se   è possibile scomporlo come:

 .

I due parametri   e   si possono considerare le coordinate polari del numero duale.

GeneralizzazioniModifica

La costruzione eseguita può essere generalizzata a qualunque anello commutativo  : i numeri duali su   sono gli elementi dell'anello quoziente  , dove   è l'anello dei polinomi a coefficienti in   e   è l'ideale generato da  .

L'ideale   non è massimale [1], per cui l'anello dei duali non è mai un campo; l'inverso dell'elemento   è  , ed è definito se   è una unità in  .

ApplicazioniModifica

Trasformazioni di GalileoModifica

In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento  , che si muove con velocità relativa   rispetto al sistema di riferimento  , la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale  :

 ,

ovvero:

 

Superspazi in fisicaModifica

I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche, per descrivere la configurazione spaziale. Ad esempio, nella Supersimmetria la loro componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica. Quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.

NoteModifica

  1. ^   è contenuto nell'ideale  

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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