Traslazione nel piano complesso

Traslazione.jpg

In geometria, dati il numero complesso e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto , per traslazione di vettore si intende la trasformazione:

che associa al numero complesso il numero complesso .

ProprietàModifica

Dalla definizione si deduce che se il punto  , di coordinate  , rappresenta  , allora la sua immagine sarà il punto   di coordinate  , con  , che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore  ,

 

Quindi:

sommare a un numero complesso   il numero complesso   equivale ad applicare una traslazione di vettore   al punto   di coordinate  .

EsempiModifica

Esempio 1Modifica

La trasformazione

 

è la traslazione   di vettore  .

Esempio 2Modifica

Per determinare la scrittura complessa della traslazione   che porta il punto   in   è sufficiente osservare che   è il punto associato al numero complesso  , e che   è il punto associato al numero complesso  . Poiché sommare ad un numero complesso   il numero complesso   equivale applicare una traslazione di vettore   al punto   di coordinate  , si ha che:

 

da cui si ottiene che  .

Quindi

 

La traslazione richiesta è:

 

Casi particolariModifica

Si consideri il caso in cui  . La traslazione di vettore   è la trasformazione:

 

che associa al numero complesso   il numero complesso  .

È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ovvero modifica solo la parte reale di  , mentre lascia invariata la parte immaginaria.

In modo analogo se  . La traslazione di vettore   è la trasformazione:

 

che associa al numero complesso   il numero complesso  .

È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ovvero che modifica solo la parte immaginaria di  , mentre lascia invariata la parte reale.

Composizione di traslazioniModifica

Date due traslazioni di vettori   e  , la trasformazione composta

 

è una traslazione di vettore  .

Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa:  , poiché è commutativa la somma di vettori  .

In particolare una qualsiasi traslazione   di vettore   è data dalla composizione delle traslazioni   e  . Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che  .

Voci correlateModifica

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