Chiarasis

CERCHI DI LEMOINE
Nella geometria euclidea, dato un triangolo ABC e il punto di Lemoine K, le parallele di Lemoine determinano sui lati del triangolo sei punti che appartengono a uno stesso cerchio detto primo cerchio di Lemoine.

Nella geometria euclidea, dato un triangolo ABC e il punto di Lemoine K, le rette antiparallele ai tre lati del triangolo e passanti per K, determinano sui lati del triangolo sei punti che appartengono a uno stesso cerchio detto secondo cerchio di Lemoine

PROPRIETA' DEL PRIMO CERCHIO DI LEMOINE

Dato un triangolo ABC e il suo triangolo ortico XYZ, i punti U, U', V, V', W, W' , determinati dall'intersezione delle rette passanti per i punti medi dei lati del triangolo ortico con i lati del triangolo fondamentale ABC, appartengono a uno stesso cerchio, ossia al primo cerchio di Lemoine.

Dato un triangolo ABC, i sei punti che stanno sul primo cerchio di Lemoine sono i vertici di un esagono, detto esagono di Lemoine.

CERCHIO DI FEUERBACH Nella geometria euclidea, dato un triangolo ABC il cerchio che passa per i punti medi A', B', C' dei tre lati di un triangolo ABC prende il nome di cerchio di Feuerbach.

Il cerchio di Feuerbach è anche noto come il cerchio dei nove punti, infatti oltre a contenere i punti medi dei lati di un triangolo ABC, contiene anche i piedi delle sue altezze e i punti medi dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro; questo tipo di denominazione però non gli si addice molto, perché il cerchio di Feuerbach contiene in realtà diciotto punti rimarchevoli.

PROPRIETA' DEL CERCHIO DI FEUERBACH

dato un triangolo ABC, il cerchio di Feuerbach contiene i punti medi A', B', C' dei tre lati del triangolo, i piedi X, Y, Z delle altezze ed i punti medi V, V', V" dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro.

Osserviamo che se il triangolo ABC è rettangolo, il suo cerchio di Feuerbach passa per i punti medi dei lati, per il vertice dell'angolo retto e per il piede della perpendicolare da questo sull'ipotenusa.

dato un triangolo ABC e il cerchio di Feuerbach, i punti di tangenza di tale cerchio con l'incerchio e i tre excerchi, indicati con F, Fa, Fb, Fc prendono il nome di punti di Feuerbach.

l'unione dei punti di Feuerbach Fa, Fb e Fc origina un triangolo, che prende il nome di triangolo di Feuerbach.

dato un triangolo ABC, il cerchio di Feuerbach è tangente a sedici cerchi, che sono i cerchi inscritti ed ex-inscritti ai quattro triangoliABC, BCH, ACH e ABH, dove H è l'ortocentro del triangolo ABC.

dato un triangolo ABC e, il suo triangolo ortico XYZ, il circoncerchio del triangolo ortico e il cerchio di Feuerbach coincidono.

dato un triangolo ABC e il suo circoncentro O, il centro del cerchio di Feuerbach O9 è il complementare del circoncentro.

il centro del cerchio di Feuerbach è il punto medio della retta che unisce il circoncentro all'ortocentro dello stesso triangolo. Il suo raggio è metà del raggio del circoncerchio.

il centro O9 del cerchio di Feuerbach giace sulla retta che contiene l'ortocentro, il baricentro, e il circoncentro, ossia sulla retta di Eulero.

CERCHIO DI BROCARD Nella geometria euclidea, considerato un triangolo ABC, il suo punto di Lemoine K ed il circoncentro O, vogliamo determinare un cerchio che ha per diametro il segmento OK e per centro il punto medio di tale segmento, ossia il centro del primo cerchio di Lemoine; il cerchio così ottenuto prende il nome di cerchio di Brocard.

PROPRIETA' DEL CERCHIO DI BROCARD

Se dato un triangolo ABC costruiamo internamente ad esso, su ognuno dei suoi lati, un triangolo isoscele a lui simile, i vertici A', B', C' dei tre triangoli che si determinano, formano un triangolo che non è simile a quello dato, tranne in due casi:

- quando l'angolo alla base dei triangoli isosceli è nullo, infatti: in questo caso A', B' e C' diventano i punti medi dei lati di ABC e il circoncerchio del triangolo A'B'C' è per definizione il cerchio di Feuerbach.

- quando l'angolo alla base dei triangoli isosceli sia uguale all'angolo di Brocard , in questo caso il circoncerchio del triangolo A'B'C' è per definizione il cerchio di Brocard.

Il cerchio di Brocard è il luogo dei punti di Lemoine dei triangoli simili circoscritti al triangolo ABC. Tale cerchio passa per sette punti notevoli, cioè per il circoncentro O, per il punto di Lemoine K, per i punti di Brocard W e W' e, per i tre punti l, m, n, intersezione delle rette che uniscono W e W' ai vertici del triangolo ABC.

Dato un triangolo ABC, il suo cerchio di Brocard e i punti A1, B1, C1, in cui il cerchio di Brocard seca le parallele a BC,CA, AB condotte per K, le rette AC1, BA1 e CB1 si intersecano sul cerchio nel primo punto di Brocard, mentre le rette AB1, BC1 e CA1 si intersecano sul cerchio nel secondo punto di Brocard.

infatti:

- per definizione di cerchio di Brocard, il punto di Lemoine e il circoncentro stanno su tale cerchio;
- se indichiamo con A1, B1, C1 i punti in cui il cerchio di Brocard interseca le parallele di Lemoine, le rette AC1, BA1, CB1 si intersecano per definizione sul cerchio nel primo punto di Brocard W;
- le rette AB1, BC1, CA1 si intersecano sul cerchio nel secondo punto di Brocard W';
- i tre punti d'intersezione delle rette che uniscono W e W' ai vertici del triangolo ABC, per come sono definiti, rappresentano i punti A1, B1, C1, della proprietà precedente, tali punti appartengono al cerchio di Brocard;

si può concludere che il cerchio di Brocard può essere definito il cerchio dei sette punti.

dato un triangolo ABC, i due punti di Brocard W e W' sono equidistanti dal punto di Lemoine K e la retta WW' è perpendicolare al segmento OK, ossia al diametro del cerchio di Brocard.

Dato un triangolo ABC e il suo circoncentro O, le rette perpendicolari ai lati del triangolo e passanti per O, secano il cerchio di Brocard in tre punti A1, B1, C1, l'unione di questi punti origina un triangolo detto primo triangolo di Brocard.

Dato un triangolo ABC e le sue simediane, esse secano il cerchio di Brocard in tre punti A2, B2, C2, l'unione di questi punti origina un triangolo detto secondo triangolo di Brocard.