Utente:Facquis/Sandbox/Trasformazione di Clarke

La trasformata di Clarke, dal nome della sua ideatrice, l'ingegnera elettrica Edith Clarke, è una trasformazione lineare utilizzata nell'ambito dell'elettrotecnica al fine di semplificare i calcoli relativi allo studio della dinamica di sistemi trifase bilanciati.

Definizione

Considerato un sistema trifase bilanciato percorso da tre correnti di valore efficace $I$ e sfasate tra loro di ${2 \over 3}\pi$ radianti allora:

${i}_{a}(t)=I_{\mathrm {max} }\cos \omega t\qquad {i}_{b}(t)=I_{\mathrm {max} }\cos {\Bigl (}\omega t+{2 \over 3}\pi {\Bigl )}\qquad {i}_{c}(t)=I_{\mathrm {max} }\cos {\Bigl (}\omega t-{2 \over 3}\pi {\Bigr )}$

Definito in numero complesso ${\bar {\alpha }}=e^{j{2 \over 3}\pi }$ allora ${\bar {\alpha }}^{2}=e^{-j{2 \over 3}\pi }$ e $1+{\bar {\alpha }}+{\bar {\alpha }}^{2}=0$, si ha quindi che i fasori delle correnti sono:

${\bar {I}}_{a}=I\qquad {\bar {I}}_{b}={\bar {\alpha }}I\qquad {\bar {I}}_{c}={\bar {\alpha }}^{2}I$

Se il sistema trifase è costituito da tre induttori identici di induttanza di fase $L_{f}$ e mutualmente accoppiati con mutua induttanza $L_{m}$, allora definite come variabili di stato le correnti e come variabili di uscita le tensioni $v_{a}$, $v_{b}$ e $v_{c}$ si ha che la rappresentazione in spazio di stato è in forma matriciale:

${\begin{bmatrix}v_{a}\\v_{b}\\v_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}L_{f}&L_{m}&L_{m}\\L_{m}&L_{f}&L_{m}\\L_{m}&L_{m}&L_{f}\end{bmatrix}}{d \over dt}{\begin{bmatrix}i_{a}\\i_{b}\\i_{c}\end{bmatrix}}$

Affinché ogni tensione non dipenda da tutte e tre le correnti è necessario diagonalizzare la matrice delle induttanze $\mathbf {L} _{abc}$ in una matrice $\mathbf {L} _{\alpha \beta 0}$. Si determina allora un matrice diagonalizzante ortonormale $\mathbf {T_{0}}$detta matrice di Clarke tale che $\mathbf {L} _{\alpha \beta 0}=\mathbf {T_{0}} \mathbf {L} _{abc}\mathbf {T_{0}} ^{T}$ (essendo ortonormale $\mathbf {T_{0}} ^{T}=\mathbf {T_{0}} ^{-1}$) e che definito il vettore spaziale ${\bar {i}}=i_{\alpha }+ji_{\beta }$ si abbia che ${\bar {i}}={\sqrt {2 \over 3}}{\bigr (}i_{a}+{\bar {\alpha }}i_{b}+{\bar {\alpha }}^{2}i_{c}{\bigr )}$. Si determina allora la matrice:

$\mathbf {T_{0}} ={\sqrt {2 \over 3}}{\begin{bmatrix}1&-{1 \over 2}&{1 \over 2}\\0&-{{\sqrt {3}} \over 2}&-{{\sqrt {3}} \over 2}\\{1 \over {\sqrt {2}}}&{1 \over {\sqrt {2}}}&{1 \over {\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$

Bibliografia

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