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Appunti di matematica

Successioni

Una successione numerica è una funzione il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali o un suo sottoinsieme. È definita da una legge che permette di associare ad ogni numero naturale dell'insieme, uno ed un solo numero reale.

Se tutti gli elementi di una successione sono minori, o uguali, di un numero reale L tale che

$\forall n$ a_n ≤ L

la successione è limitata superiormente. Se $\forall n$ a_n ≥ l -> limitata inferiormente Se $\forall n$ l ≤ a_n ≤ L -> limitata

Successioni monotone

Se i termini di una successione crescono al crescere dell'indice ( i < j => a_i < a_j ) la successione è crescente. Se i < j => a_i > a_j, la successione è decrescente. Se una successione è crescente o decrescente, anche debolmente, la si definisce monotona. Se no è oscillante.

Limite infinito

Si dice che una successione di elementi ha per limite $+\infty$, al tendere di n a $+\infty$, quando prefissato un numero M > 0, è possibile determinare un numero n_M tale che, per ogni numero naturale n > n_M, sia verificata a_n > M. In tal caso la successione è positivamente divergente.

$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=+\infty$

Se: M > 0, $\forall n>n_{M}$ a_n < -M

$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=-\infty$

è negativamente divergente.

Se

$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=l$

convergente.

Teoremi

1. Se una successione crescente è limitata superiormente, essa è convergente.
2. Se una successione descrescente è limitata inferiormente, essa è convergente.
3. Se una successione crescente è illimitata superiormente, essa diverge positivamente.
4. Se una successione decrescente è illimitata inferiormente, essa diverge negativamente.

Insiemi numerici

Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico o insieme lineare dei punti e i suoi elementi sono indistintamente numeri o punti corrispondenti della retta.

Intervalli

• [a;b] Intervallo chiuso
• (a;b) Intervallo aperto
• (a;b] Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
• [a;b) Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
• $\left[a;+\infty \right)$ Intervallo chiuso illimitato superiormente
• $\left(a;+\infty \right)$ Intervallo aperto illimitato superiormente
• $\left(-\infty ;a\right]$ Intervallo chiuso illimitato inferiormente
• $\left(-\infty ;a\right)$ Intervallo aperto illimitato inferiormente

I valori interni sono quelli che appartengono all'intervallo. I valori esterni non vi appartengono.

Intorni

Si chiama intorno completo di un punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente x₀. Se l'intorno I(x₀) è simmetrico rispetto a x₀ si parla di intorno circolare di x₀.
Si dice intorno sinistro del punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto avente x₀ come estremo destro. Si dice intorno destro del punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto avente x₀ come estremo sinistro.

Insiemi limitati

Un ins numerico A si dice superiormente limitato quando esiste un numero K tale che ogni elemento dell'insieme è minore o uguale a K. Se A è superiormente limitato, K è un maggiorante di A. Quando A non è limitato superiormente è illimitato superiormente.
Un insieme numerico A si dice inferiormente limitato quando esiste un numero h tale che ogni elemento dell'insieme è maggiore o uguale a h. Se A è inferiormente limitato, h è un minorante di A. Quando A non è limitato inferiormente è illimitato inferiormente.
Se un insieme numerico A è limitato sia inferiormente che superiormente, lo si definisce limitato.

Un insieme A è limitato se e solo se è limitato l'insieme dei valori assoluti dei suoi elementi.

Se A è un insieme limitato sueriormente , l'insieme dei suoi maggioranti è dotato di minimo. Se A è un insieme limitato inferiormente , l'insieme dei suoi minoranti è dotato di massimo.

Massimi, minimi

Se un insieme numerico A contiene un elemento che è il più grande (o il più piccolo) di tutti gli altri elementi, tale elementoè detto massimo (o minimo) dell'insieme.

Estremi

L'estremo superiore di un insieme è un numero L, se esiste, tale che:

• ogni elemento dell'insieme è minore o uguale ad L (L è maggiorante di A)
• comunque si scelga un numero e > 0 arbitrariamente piccolo, esiste almeno un elemento dell'insieme che sia maggior di L-e (L-e non è maggiorante)

Se l'insieme A è superiormente illimitato non ammette estremo superiore: Sup A = $+\infty$. Se l'insieme A è superiormente limitato il suo estremo superiore L può appartenere o meno ad A. Se appartiene ad A è l'elemento massimo.

$\forall \epsilon >0\exists x:L-\epsilon <f(x)<L$

Analogamente, l'estremo inferiore dell'insieme A è un numero l, se esiste, tale che:

• ogni elemento dell'insieme è maggiore o uguale a l (l è minorante di A)
• comunque si scelga un numero e > 0, arbitrariamente piccolo, esiste almeno un elemento dell'insieme che sia minore di l+e (l+e non è minorante)

Se l'insieme A è illimitato inferiormente, non ammette estremo inferiore: Inf A = $-\infty$. Se l'insieme è limitato inferiormente il suo estremo inferiore l può appartenere o meno ad A. Se appartiene è detto minimo.

$\forall \epsilon >0\exists x:l<f(x)<l+\epsilon$

Punti

Un numero c è isolato se esiste un intorno di c che non contiene altri punti di A. Un punto c, che può anche non appartenere all'insieme è di accumulazione per A, se in ogni intorno di c esiste almeno un elemento di A distinto da c.

Funzioni

Dati due insiemi non vuoti X e Y, si chiama applicazione o funzione da X a Y una relazione tra i due insiemi che ad ogni $x\in X$ fa corrispondere uno ed un solo $y\in Y$.

L'insieme X è il dominio della funzione, mentre il codominio è il sottoinsieme di Y formato dagli elementi che hanno almeno una controimmagine in X.

Funzioni pari e dispari

• Funzione pari: una funzione f di dominio D si dice pari se $\forall x\in D,f(-x)=f(x)$
• Funzione dispari: una funzione f di dominio D si dice dispari se $\forall x\in D,f(-x)=-f(x)$
• Funzione biunivoca: una funzione d di dominio D e codominio C è biunivoca quando ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio.
• Funzione inversa: si chiama inversa di una funzione biunivoca f, f^-1, la corrispondenza che ad ogni elemento del codominio di f fa corrispondere la sua unica controimmagine.
• Funzione periodica: si dice che una funzione y=f(x) è periodica di periodo T (T>0) se per qualsiasi numero intero relativo K si ha $f(x+kT)=f(x)$

Funzioni crescenti

Una funzione y=f(x) si dice crescente in senso stretto nell'intervallo I, se $\forall x_{1},x_{2}\in I,x_{1}<x_{2}=>f(x_{1})<f(x_{2})$ Una funzione si dice crescente in senso lato se $f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Analogamente le funzioni descrescenti in senso stretto ed in senso lato.

Quando una funzione è crescente o decrescente in senso stretto in un intervallo I, si dice che è strettamente monotona in I. Quando è crescente o decrescente in senso lato, è una funzione monotona in senso lato.

Funzioni limitate

Una funzione si dice limitata in D se l'insieme numerico C=f(D) risulta limitato. Se C è illimitato superiormente la funzione si dice illimitata superiormente, e vice versa. Un insieme numerico ammette sempre gli estremi (eventualmente l'infinito). Se l'insieme f(D) ammette massimo e minimo questi son detti massimo e minimo assoluti.

Discontinuità

Una funzione f(x) è continua nel punto x=c se $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$.

• Prima specie: Esistono finiti, ma diversi tra loro, i limiti da destra e sinistra per x -> c.
• Seconda specie: Non esiste, o non esiste finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o sinistra di c.
• Terza specie (eliminabile): Esiste finito il limite x->c di f(x) ma f(c) o non esiste o è diverso dal valore del limite.

Derivate

Considerata una funzione $y=f(x)$ in un intorno I di x₀, si aumenti x₀ di h in modo che $x_{0}+h\in I$. Il rapporto incrementale di f(x) relativo al punto x₀ e all'incremento h è:

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Se $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$
esiste ed è finito, si dice che la funzione è derivabile in x₀. Tale limite ha il nome di derivata della funzione per x = x₀ e viene indicato con $f'(x_{0})$

In geometria analitica

Il coefficiente angolare della tangente (t) in un punto è dato da $m_{t}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Esempio: $f(x)=2x^{2}-3$
Il coefficiente angolare nel punto x₀ = 1 è $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2(1+h)^{2}-3-2+3}{h}}={\frac {4h+2h^{2}}{h}}={\frac {h(4+2h)}{h}}=4$