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Intorno

Nozione Matematica

In analisi matematica e in topologia, un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto.[1] Un intorno di un punto senza il punto si dice intorno bucato o anulare.

Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite. Un intorno di un punto è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a si dice che vale "per ogni intorno di ".

Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.

Spazi topologiciModifica

In un generico spazio topologico  , un intorno di un punto   è un insieme   che contiene almeno un insieme aperto   contenente  , cioè  [1], che è l'abbreviazione di   e  

L'insieme   non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui   è aperto, si parla di intorno aperto e quando   è chiuso di intorno chiuso.

Intorni sfericiModifica

Nel caso di uno spazio metrico   si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico (o circolare) aperto di un punto   in   di raggio   definito come l'insieme:

 

L'insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro   e raggio   (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo   il simbolo   nella definizione di  . Se si indica con   la chiusura di un insieme   allora è coerente indicare con   il disco chiuso di centro   e raggio  ). Un esempio è l'intorno di raggio   quando si considera  , che risulta poi essere un intervallo contenente   del tipo  , o  , ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente,   sia aperto o chiuso in  .

I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto   come un qualunque sottoinsieme   di   tale che esista un   in corrispondenza del quale   Così facendo, tra l'altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso. Sia infatti   uno spazio normato,   e  . Se  , e   è la curva  , allora, posto  , si ha

 

e quindi, tenendo conto che per ogni   risulta  , si ha

 

qualunque sia  . Ne segue che   è convesso. Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che   è semplicemente connesso.

Base di intorniModifica

Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato   "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto.

Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di   contiene uno di questi intorni.

Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.

Spazio euclideoModifica

Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico spazio euclideo   di dimensione  . Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di   è sempre un insieme contenente un insieme aperto  , contenente a sua volta  . In particolare:

  • Un intorno sferico aperto di raggio   è l'insieme
 

dove si fa uso della distanza euclidea.

  • Un intorno rettangolare è un intorno del tipo
 

dove ciascun   è un intervallo in  , intorno della coordinata  -esima di  .

Retta realeModifica

Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale. Un intorno di un punto   della retta reale   è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo

 

dove   è un numero positivo. In particolare:

  • L'intorno è aperto se è un insieme aperto
  • L'intorno aperto di raggio   è l'intervallo aperto  .

Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo   con   è un intorno chiuso di  .

La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa: un intorno di   è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma  , per qualche   reale. Analogamente un intorno di   è un insieme contenente  .

NoteModifica

  1. ^ a b M. Manetti, p. 42.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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