Coefficiente angolare

In geometria analitica il coefficiente angolare (in lingua inglese slope, pendenza) di una retta non verticale nel piano cartesiano è il coefficiente $m$ che compare nella sua equazione, scritta nella forma:

y=mx+q\;

.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale

ax+by+c=0

,

con $b\neq 0$ (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

m=-{\frac {a}{b}}

.

Due rette (non verticali) sono parallele esattamente quando hanno lo stesso coefficiente angolare; in particolare, il coefficiente angolare della retta passante per l'origine,

y=mx

è la tangente degli angoli formati dalla retta con l'asse delle ascisse: la retta infatti passa per il punto di coordinate $(x_{1},y_{1})=(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))$ , quindi

m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )

.

Il coefficiente angolare di una retta (non verticale) è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta, $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ :

{\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\Rightarrow q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\Rightarrow m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\Rightarrow m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Per una retta verticale, di equazione $x=x_{0}$ , questa espressione è priva di significato: due distinti punti della retta hanno diverse coordinate $y$ ma uguali coordinate $x$ , quindi per calcolare il rapporto bisognerebbe dividere per zero (al contrario, in geometria proiettiva il simbolo $(1:0)$ è ben definito).

Considerando la retta come grafico di una funzione $f(x)=mx+q$ , il suo coefficiente angolare è la derivata della funzione: $f'(x)=m$ (la retta tangente è la retta stessa).

Poiché due rette in forma generale, $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ , sono perpendicolari esattamente quando $aa'+bb'=0$ , ne segue che due rette (non verticali) $y=mx+q$ e $y=m'x+q'$ sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è