Utente:Mark11000/Sandbox

Prova 1

Moto browniano (Processo di Wiener)

Definizione

Dato uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, un moto browniano standard $B=\{B(t),\ t\geq 0\}$ è un processo stocastico adattato alla filtrazione $\{{\mathcal {F}}_{t},\ t\geq 0\}$ che soddisfa le seguenti proprietà:

• $\mathbb {P} \{B(0)=0\}=1$
• $B(t)-B(s)$ è indipendente da ${\mathcal {F}}_{s}$ per $s<t$
• La variabile aleatoria $B(t)-B(s)$ ha una distribuzione normale di media $0$ e varianza $|t-s|$

Proprietà elementari

• Il moto browniano è markoviano, cioé: $\mathbb {P} \{B(t)\in A|{\mathcal {F}}_{s}\}=\mathbb {P} \{B(t)\in A|B(s)\}$

Bibliografia

• E. Orsingher, L. Beghin, Probabilità e modelli aleatori, Aracne, 2006, ISBN 88-548-0576-9.

Prova 2

Numero ottagonale

Un numero ottagonale è un numero poligonale che rappresenta un ottagono. L'n-esimo numero ottagonale è dato dalla formula:

$x_{n}={\frac {{(3n-1)^{2}}-1}{3}}\qquad$ con n > 0

I primi numeri ottagonali sono: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 1060.

Riscrivendo la formula nel modo seguente: $3x_{n}+1={(3n-1)^{2}}$, si osserva che il triplo più uno di un ottagonale è un numero quadrato. Da ciò segue che un numero ottagonale non può terminare con le cifre 2, 4, 7, 9, altrimenti il suo triplo più uno terminerebbe con le cifre 2, 3, 7, 8, e ciò non è possibile.

Geometricamente, un numero ottagonale può essere ottenuto ponendo quattro numeri triangolari sui lati di un numero quadrato. In questi termini, l'n-esimo numero ottagonale è:

$x_{n}=n^{2}+4\sum _{n=1}^{n-1}n=n^{2}+4{\frac {n(n-1)}{2}}=3n^{2}-2n.$

Test per i numeri ottagonali

Se $x_{n}$ è l'n-esimo numero ottagonale, soddisfa:

$n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.$

Di conseguenza, è possibile stabilire se un numero $x$ arbitrario sia o meno un numero ottagonale inserendolo all'interno dell'equazione. Se n è un intero, allora $x$ è l'n-esimo numero ottagonale. Se n non è un intero, allora $x$ non è ottagonale.

Da Fare

• Ricordati di correggere nel Test di Lucas-Lehmer, che il Lehmer giusto è il figlio, non Derrick Norman Lehmer. Se serve, creare la pagina del figlio traducendola dall'inglese.