Numero triangolare

numero rappresentabile in forma di triangolo
Nota disambigua.svg Disambiguazione – "Formula di Gauss" rimanda qui. Se stai cercando la formula per il calcolo dell'area di poligoni qualunque, vedi Formula dell'area di Gauss.

In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo equilatero o un triangolo isoscele, come nella figura sotto.

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Indice

Formula di GaussModifica

L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss, la formula porta in nome del matematico per una mera questione di consuetudine storica ma, secondo i canoni dell'assegnazione prioritaria in uso nella matematica, data la sua semplicità e l'antichità dell'argomento andrebbe certamente attribuita a terzi:

 

Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi   termini della progressione aritmetica di ragione 1:

 

È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati   e  , che è formato da   punti, il doppio di quelli del triangolo.

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L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di   elementi.

DimostrazioneModifica

Occorre verificare che la formula:

 

sia valida per n=1, e per ogni successore di n, ovvero n+1. Il primo caso, per n=1, si verifica facilmente:

 

Per gli n successori occorre dimostrare che:

 

Infatti

 

Elenco di numeri triangolariModifica

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.

e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.

Relazioni con altri numeri figuratiModifica

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  • esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
  • ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in  ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
  • la somma dei primi   numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico;
  • l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per  ; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
  • la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.

Altre proprietàModifica

  •   (somma di numeri triangolari);
  •   (prodotto di numeri triangolari);
  • tutti i numeri perfetti sono triangolari;
  • i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
  • il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi   cubi:
 ;
Questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
  • i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.

Test per i numeri triangolariModifica

Per stabilire se il numero   è triangolare si può calcolare l'espressione:

 

Se,   è intero, allora   è l'm-esimo numero triangolare, altrimenti   non è triangolare.

Tale test trova la sua legittimazione nel fatto che:  

Molto evidente e semplice anche la dimostrazione grafica, tanto da essere già nota fin dall'antichità e pertanto precedente all'introduzione dell'algebra simbolica. Tra le fonti accreditate che riportano il teorema spicca anche il nome di Plutarco, motivo per il quale talvolta l'identità è citata come identità di Plutarco.

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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