Utente:Rcmf2020/Sandbox3

L'identità di Pohozaev è un importante risultato di analisi matematica, in particolar modo nello studio delle equazioni ellittiche semilineari e non lineari. Essa, tramite un'identità, mette in relazione il comportamento di una soluzione di un'equazione differenziale ellittica sul bordo del dominio dove l'equazione è definita con il comportamento della soluzione all'interno del dominio stesso. Quindi in tutti i problemi in cui sono date le condizioni al bordo, si possono derivare importanti informazioni circa il comportamento delle soluzioni all'interno del dominio partendo dal loro comportamento sul bordo del dominio, dove la soluzione soddisfa le condizioni. Questo risultato si presta in diversi modi a derivare stime di grandezze importanti nello studio delle equazioni ellittiche, come ad esempio la norma $L^{2}$ (vedi Spazio L^p) del gradiente della soluzione.

Teorema di Pohozaev (Identità di Pohozaev)

Sia $N\geq 2$ e sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{N}$ un dominio regolare e limitato. Sia $u\in C^{2}({\bar {\Omega }})$, dove ${\bar {\Omega }}$ indica la chiusura topologica di $\Omega$, una soluzione classica dell’equazione

$-\Delta u=g(u)$ in $\Omega$,

con $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ continua. Allora, denotando con $\nu (x)$ il versore normale esterno su $\partial \Omega$ e con $G(t)=\int _{0}^{t}g(s)ds$ la primitiva di $g$, si ha:

$N\int _{\Omega }G(u(x))dx-{\frac {N-2}{N}}\int _{\Omega }\vert \nabla u(x)\vert ^{2}dx=\int _{\partial \Omega }G(u(x))(x\cdot \nu (x))d\sigma +\int _{\partial \Omega }{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)(x\cdot \nabla u(x))d\sigma -{\frac {1}{2}}\int _{\partial \Omega }\vert \nabla u(x)\vert ^{2}(x\cdot \nu (x))d\sigma ,$

dove $d\sigma$ indica la misura sul bordo di $\Omega$.

Caso di condizioni al bordo di Dirichlet

Nel caso in cui valga anche una condizione di Dirichlet omogenea, ovvero l'equazione è del tipo

${\begin{cases}-\Delta u(x)=g(u(x))\;\forall x\in \Omega \\u(x)=0\;\forall x\in \partial \Omega ,\end{cases}}$

sappiamo per il principio del massimo che $\nu (x)\parallel \Delta u(x)$ dunque si ha che $\nu (x)=-{\frac {\nabla u(x)}{\vert \nabla u(x)\vert }}.$ Quindi,

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nu (x)\cdot \nabla u(x)=-{\frac {\nabla u(x)\cdot \nabla u(x)}{\vert \nabla u(x)\vert ^{2}}}=-\vert \nabla u(x)\vert .$

Usando queste due identità si ottiene che $x\cdot \nabla u(x)=-(x\cdot \nu (x))\vert \nabla u(x)\vert =(x\cdot \nu (x)){\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x).$ Inoltre, $\vert \nabla u(x)\vert ^{2}={\Big |}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x){\Big |}^{2}$e dall'equazione stessa si ottiene che

$\int _{\Omega }\vert \nabla u(x)\vert ^{2}dx=\int _{\Omega }g(u(x))u(x)dx.$

Infine, essendo $G(0)=0$ si ha che $G(u(x))=0$ per ogni $x$ in $\Omega$. Usando le identità appena ottenute nell'identità di Pohozaev, essa si riduce a

$N\int _{\Omega }G(u(x))dx+\left(1-{\frac {N}{2}}\right)\int _{\Omega }u(x)g(u(x))dx={\frac {1}{2}}\int _{\partial \Omega }(x\cdot \nu )\left({\frac {\partial u}{\partial \nu (x)}}(x)\right)^{2}d\sigma .$

Bibliografia

• Ambrosetti, Antonio, and Andrea Malchiodi. Nonlinear analysis and semilinear elliptic problems. Vol. 104. Cambridge University Press, 2007.
• Ghoussoub, Nassif, and Amir Moradifam. Functional Inequalities: New Perspectives and New Applications: New Perspectives and New Applications. Vol. 187. American Mathematical Soc., 2013

Voci correate

• Equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche
• Operatore di Laplace