Principio del massimo di Hopf

In matematica, il principio del massimo di Hopf è un principio del massimo utilizzato nello studio di equazioni alle derivate parziali ellittiche.

Enunciato

Sia $u=u(\mathbf {x} )$, con $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, una funzione di classe $C^{2}$ che soddisfa l'equazione differenziale alle derivate parziali:

$Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0$

in un aperto connesso di $\Omega$, dove la matrice simmetrica dei coefficienti $a_{ij}(x)$ è localmente definita positiva in $\Omega$ e sia le funzioni $a_{ij}(x)$ che le funzioni $b_{i}(x)$ sono localmente limitate. Se $u$ ha un massimo $M$ in $\Omega$, allora è costantemente uguale a $M$ in $\Omega$.

Funzioni armoniche

Data una funzione armonica $f$ definita sulla chiusura di una palla $B_{r}(0)\subset \mathbb {R} ^{n}$ centrata nell'origine e di raggio $r$ ed un punto $x_{0}$ sulla frontiera $\partial B_{r}(0)$ di $B_{r}(0)$, se $x_{0}$ è un massimo assoluto per $f$, ovvero:

$f(x_{0})>f(y)\quad \forall y\neq x_{0}$

allora:

${{\partial f} \over {\partial {\vec {n}}}}(x_{0})>{{k} \over {r}}(f(x_{0})-f(0))$

per qualche costante $k>0$, con ${\vec {n}}$ un versore che da $x_{0}$ entra perpendicolarmente in $B_{r}$.

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica
• Funzione armonica
• Lemma di Hopf
• Principio del massimo

Collegamenti esterni

• (EN) Lecture Three: The Hopf Maximum Principle (PDF), su ocw.mit.edu.