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Norma (matematica)

funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale una lunghezza positiva

In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva.

Indice

DefinizioneModifica

Una norma su uno spazio vettoriale reale o complesso   è una funzione:

 

che verifica le seguenti condizioni:

  •  
  •   se e solo se  
  •   per ogni scalare   (omogeneità)
  •   per ogni   (disuguaglianza triangolare)

La coppia   costituisce uno spazio normato.

Una funzione che verifichi tutte le condizioni ma non la seconda viene chiamata seminorma: la seminorma assegna la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero. Una delle due implicazioni della prima condizione (in particolare  ) è comunque automatica dalla seconda condizione e dalle proprietà di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale   con una seminorma   induce uno spazio normato  , detto spazio vettoriale quoziente, in cui il sottospazio   di   è l'insieme di tutti i vettori   tali che  . La norma indotta su   è ben definita, ed è data da  .

EsempiModifica

 
Norme diverse nel piano possono essere visualizzate disegnando la sfera unitaria.

Spazi a dimensione finitaModifica

Sono norme di   e di   le funzioni:

 

con  . In dimensione   tutte queste norme coincidono col valore assoluto. Per   non è rispettata la disuguaglianza triangolare quindi essa non potrà essere una norma.

La norma 1 è banalmente la somma dei valori assoluti dei componenti, solitamente indicato secondo la contrazione tensoriale con:  , indicando esplicitamente come questa generalizzi il valore assoluto al caso vettoriale.

L'esempio più noto è invece la norma 2 (tanto che il 2 viene solitamente omesso), detta anche norma euclidea, che nello spazio euclideo  -dimensionale   diventa:

 

La norma   è (impiegando la nozione di limite di una funzione) il massimo dei valori delle componenti in valore assoluto:

 

Spazi a dimensione infinitaModifica

Per ogni sottoinsieme compatto   di   si consideri lo spazio vettoriale   delle funzioni continue a valori reali. Si definiscono allora le Lp (1<p<∞) seminorme:

 

Fissato   insieme arbitrario, la stessa funzione definisce una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni limitate a valori in  .

La norma uniforme, in analogia col caso di spazi a dimensione finita, è:

 

Nello spazio vettoriale delle funzioni quadrato sommabili   si definisce la seminorma euclidea:

 

Prodotto scalare, distanzaModifica

In generale, ogni prodotto scalare definito positivo induce una norma:

 .

Se una distanza definita in uno spazio vettoriale soddisfa le proprietà:

  (invarianza per traslazioni)
  (omogeneità)

allora la funzione:

 

è una norma.

ProprietàModifica

  • Ogni (semi)norma è una funzione sublineare (ma non vale il viceversa), da cui segue che ogni norma è una funzione convessa.
  • La non negatività si potrebbe anche ricavare come conseguenza delle sue proprietà: infatti la proprietà di omogeneità implica che:
 
e quindi con la disuguaglianza triangolare si ottiene:
 
per ogni  .
  • Disuguaglianza triangolare inversa:
Per ogni  :
 
Infatti:
 
da cui :
 
e analogamente:
 

Struttura topologicaModifica

La norma induce una metrica tramite:

  ( )

e quindi una topologia, definendo come intorno di   ogni insieme che contenga una palla:

  per un  

La disuguaglianza triangolare inversa implica che la funzione norma è continua rispetto alla topologia che essa stessa induce.

Norme equivalentiModifica

Due norme   e   definite su uno stesso spazio vettoriale   sono equivalenti se esistono due costanti   e   strettamente positive tali che:

 

per ogni elemento   di  . Due norme equivalenti definiscono la stessa struttura topologica.

Ad esempio, moltiplicando una norma per una costante fissata positiva, si ottiene una norma equivalente alla precedente.

Dimensione finitaModifica

Tutte le norme definibili su uno spazio vettoriale   di dimensione finita   sono equivalenti. In particolare, lo sono le norme   e   descritte sopra.

Tutte le norme definibili su   inducono quindi la stessa topologia, equivalente alla topologia standard euclidea di  .

Dimensione infinitaModifica

In dimensione infinita esistono molti esempi di norme non equivalenti. Si prendano come esempi gli spazi   definiti precedentemente. Allora nessuna coppia di norme è equivalente ad un'altra.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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