Utente:Vilnius/Sandbox

Scattering di n particelle in entrata e m in uscita con un gravitone uscente aggiunto a una gamba in uscita.

In fisica, il teorema del gravitone molle (soft in inglese), formulato la prima volta da Steven Weinberg nel 1965, permette di calcolare la matrice S, usata nel calcolo dell'esito degli urti tra particelle, quando entrano in gioco gravitoni a bassa energia (molli).

In particolare, se in una collisione tra n particelle entranti da cui scaturiscono m particelle uscenti, l'esito della collisione dipende da una certa matrice S, aggiungendo uno o più gravitoni alle n + m particelle, la matrice S risultante (sia S') differisce dalla S iniziale soltanto per un fattore che non dipende in alcun modo, se non per il momento, dal tipo di particelle a cui i gravitoni si accoppiano.

Il teorema vale anche mettendo dei fotoni al posto dei gravitoni, ottenendo così un corrispondente teorema del fotone molle.

Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della gravità quantistica sotto forma di teoria quantistica perturbativa, cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica.

Nel 2014 Andrew Strominger e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'invarianza di gauge per rotazioni, garantendo la conservazione globale del momento angolare, invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del momento lineare, come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto memoria gravitazionale di spin.

Formulazione

Date delle particelle la cui interazione è descritta da una certa matrice S iniziale, aggiungendo un gravitone molle (cioè la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle) che si accoppia a una delle particelle in entrata o uscita, la risultante matrice S' è

${\cal {S}}'={\sqrt {8\pi G}}{\frac {\eta p^{\mu }p^{\nu }\epsilon _{\mu \nu }}{p\cdot p_{G}-i\eta \varepsilon }}{\cal {S}}+O(p_{G}^{0})$ ,

dove $p$ è il momento della particella che interagisce con il gravitone, $p_{G}$ è il momento del gravitone, $\epsilon _{\mu \nu }$ è la sua polarizzazione e il fattore $\eta$ è uguale a 1 per le particelle uscenti e a -1 per quelle entranti.

La formula deriva da uno sviluppo in serie e l'ultimo termine con la O grande indica che termini di ordine superiore non sono considerati.

Nel caso di più gravitoni molli coinvolti, il fattore davanti a S è la somma dei fattori dovuti a ogni singolo gravitone.

Se al posto del gravitone si aggiunge un fotone molle (la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle), la risultante matrice S' è

${\cal {S}}'={\frac {\eta qp\cdot \epsilon }{p\cdot p_{\gamma }-i\eta \varepsilon }}{\cal {S}}+O(p_{\gamma }^{0})$ ,

con gli stessi parametri di prima ma con $p_{\gamma }$ momento del fotone, $\epsilon$ la sua polarizzazione e $q$ la carica della particella accoppiata al fotone.

Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.

Estensione al termine successivo

Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo Andrew Strominger e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:

${\cal {S}}'={\sqrt {8\pi G}}{\frac {\eta p^{\mu }p^{\nu }\epsilon _{\mu \nu }}{p\cdot p_{G}-i\eta \varepsilon }}{\cal {S}}-i{\sqrt {8\pi G}}{\frac {\eta p^{\mu }({p_{G}}_{\rho }J^{\rho \nu })\epsilon _{\mu \nu }}{p\cdot p_{G}-i\eta \varepsilon }}{\cal {S}}+O(p_{G}^{1})$,

dove $J^{\rho \nu }$rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.

F.E. Low per il fotone

[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.

[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.

Dimostrazione

Il teorema si dimostra in base a uno sviluppo in serie del propagatore del fotone o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e descritta dalla matrice S iniziale.

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento $p_{G}$. Il calcolo esatto dell'ampiezza d'interazione richiederebbe la conoscenza della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie si può utilizzare uno sviluppo in serie di Laurent, utilizzando come polo tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. In base alle regole LSZ per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative funzioni di Green in ordinamento temporale amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.

Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).

To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and

m outgoing particles and then consider adding to it one outgoing photon, denoted

by a wavy line in figure 2.5, with momentum q. (The derivation for an incoming

photon is similar.) In the soft limit, we can write the amplitude as a sum of two

types of terms, ones in which the soft photon attaches to an external line and others

in which the soft photon attaches to an internal line. The soft photon can attach to

any one of the n + m external lines, so we must include a sum over all such terms.

The full amplitude has a Laurent expansion in q with an infinite number of terms

whose detailed form depends on what theory we are talking about. For the pole we

need not specify what theory we are studying except that it has a photon. That is

one of the beauties of this formula.

The LSZ rule for computing scattering amplitudes starts out by computing

the time-ordered Green’s functions using the Feynman iε prescription and then

amputating the external legs. The Feynman diagrams have factors for vertices and

propagators. What happens when we attach the extra photon to an external leg is,

since external legs are amputated, we need only add a vertex and propagator for

the particle to whose external leg the photon is added. The difference between the

diagram with and without the attached external soft photon is just the vertex and

propagator.

Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35

re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem: here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1