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1leftarrow blue.svgVoce principale: Momento di un vettore.

Esempio di funzionamento del momento angolare

Il momento angolare (dal latino momentum, movimento), o momento della quantità di moto o impulso angolare è una grandezza fisica di tipo vettoriale, che rappresenta la quantità che si conserva se un sistema fisico è invariante sotto rotazioni spaziali. Costituisce l'equivalente per le rotazioni della quantità di moto per le traslazioni.

Nella meccanica newtoniana il momento angolare rispetto a un polo di un punto materiale è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore che esprime la posizione del punto rispetto a e il vettore quantità di moto :

Per sistemi discreti il momento angolare totale è definito dalla somma dei singoli momenti angolari:

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità e il campo di velocità :

il cui valore, in caso di moto circolare uniforme, può essere espresso anche come il prodotto tra il tensore di inerzia e la velocità angolare :

Più in generale, nelle formulazioni della meccanica discendenti da un principio variazionale, il momento angolare è definito in termini del teorema di Noether come la quantità conservata risultante dall'invarianza dell'azione rispetto alle rotazioni tridimensionali. Questa formulazione è più adatta per estendere il concetto di momento angolare ad altri enti, quali ad esempio il campo elettromagnetico.

Il momento angolare è uno pseudovettore, non uno scalare come l'azione. Per questo motivo l'unità di misura del momento angolare nel SI è in kg·m²/s (kilogrammo per metro quadro su secondo), non il joule per secondo, anche se le due unità hanno le stesse dimensioni fisiche.

Momento angolare in meccanica classicaModifica

 
Momento angolare ( ) di un punto materiale di massa  . Nell'immagine sono indicati il vettore posizione ( ) e la velocità ( )

Come già detto, in meccanica classica il momento angolare   è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione   rispetto al polo e il vettore quantità di moto  :

 

Il modulo di   è quindi definito da:

 

La direzione di   è perpendicolare al piano definito da   e da   e il verso è quello di un osservatore che vede ruotare   in senso antiorario. Il vettore  , che rappresenta la distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace  , è detto braccio di  .

Se   e   sono tra loro perpendicolari, si ha che  , pertanto il momento angolare è massimo. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se   è parallelo ad  , in tal caso infatti  .

Poiché il prodotto di due variabili coniugate, ad esempio posizione e impulso, deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale, infatti è l'angolo di rotazione attorno al polo.

Momento angolare assialeModifica

Si definisce momento angolare assiale rispetto a un asse   passante per un punto   la componente ortogonale del momento angolare su un particolare asse  , detto asse centrale:

 

dove   è un versore, vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sarà:

 

dove   è l'angolo formato dal vettore momento angolare   con l'asse  . In pratica è la proiezione ortogonale del momento angolare sull'asse  . Per questo il momento angolare assiale è nullo se l'angolo   e massimo quando l'asse   coincide con l'asse di  , in tal caso infatti:  .

Equazioni del motoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali della dinamica.
 
Relazione tra forza (F), momento meccanico (τ), quantità di moto (p) e momento angolare (L) in un sistema rotante.

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto. Infatti se un punto materiale   si muove con quantità di moto:  , il momento angolare del punto rispetto a un polo   è dato da:

 

se il polo   è in moto con velocità  , allora il momento angolare varia nel tempo:

 

dove

  •   rappresenta la velocità relativa del punto   rispetto alla velocità di  
  •   per il secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante.

Allora da questa equazione si ottiene la seconda equazione cardinale dei sistemi, infatti dalla

 

essendo   e   paralleli, il loro prodotto vettoriale è nullo, dunque si ottiene:

 

dove   è il momento meccanico.

Nei casi in cui:

  • il polo sia fermo
  • il polo coincida con il centro di massa
  • il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa

allora ci si riconduce alla più familiare:

 

Momento angolare semplificato utilizzando il centro di massaModifica

Spesso è conveniente considerare il momento angolare di un sistema discreto rispetto al proprio centro di massa, perché i calcoli ne risultano notevolmente semplificati. Il momento angolare di un insieme di punti materiali è la somma del momento angolare di ciascun punto:

 

dove   è il vettore posizione del punto i-esimo rispetto all'origine,   è la sua massa, e   è la sua velocità. Il centro di massa è definito da:

 

dove la massa totale di tutte le particelle è data da

 

Ne consegue che la velocità lineare del centro di massa è

 

Se si definiscono   il vettore posizione della particella , e   la sua velocità rispetto al centro di massa, si ha

  e  

si può vedere che

    e     

cosicché il momento angolare totale rispetto all'origine è

 

Il primo termine è semplicemente il momento angolare del centro di massa. È il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa  , posta nel centro di massa, che si muove con velocità  . Il secondo termine è il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa. Esso può essere ulteriormente semplificato se le particelle formano un corpo rigido, nel qual caso è il prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare del moto rotatorio. Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una distribuzione continua di massa.

Conservazione del momento angolare ed esempiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Urto fra corpi rigidi.

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari, inoltre resta fondamentale perché nei sistemi non soggetti a momenti di forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare. La conservazione del momento angolare è fondamentale nello studio dei moti in campi di forze centrali, poiché è legata alla costanza della velocità areolare, come nello studio dei moti dei pianeti e dalle leggi di Keplero, e ancora allo studio del moto del pendolo.

Momento della forzaModifica

Il momento di una forza è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione della forza, e la forza stessa. Il suo modulo risulta quindi uguale al modulo della forza per il braccio. Si può dimostrare che se il polo è immobile, la derivata rispetto al tempo del momento angolare è uguale al momento delle forze applicate, cosicché se quest'ultimo momento è nullo allora il momento angolare si conserva.

BibliografiaModifica

  • David Halliday, Robert Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1960-2007, Chapter 10.

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