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Polo (analisi complessa)

Il modulo della funzione Gamma con alcuni poli.

In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa , si intende una singolarità isolata della funzione per cui

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

Serie di LaurentModifica

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata   è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

 

con  , per qualche  .

In altre parole, una singolarità isolata è un polo se e solo se la parte principale della serie di Laurent in un intorno bucato della singolarità è costituita da un numero finito di termini, cioè se i coefficienti con apice   negativo sono un numero finito   diverso da zero:

 

Ordine del poloModifica

L'ordine del polo è il numero naturale   di termini che costituiscono la parte principale della serie di Laurent. Analogamente,   è un polo se per qualche   il limite:

 

esiste, è finito ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto   un polo di ordine  .

EsempiModifica

Una funzione

 

dove   e   sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

 

dove   sono le radici di  . Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

 

ha un polo di ordine   in   ed un polo di ordine   in  .

La funzione

 

è definita su

 

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto  . Ha quindi infiniti poli.

Funzione meromorfaModifica

Una funzione olomorfa   avente poli nei punti   può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann  : è sufficiente imporre  . Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.

Voci correlateModifica