Varietà conformemente piatta
In geometria differenziale, una varietà pseudo-riemanniana è conformemente piatta se ogni suo punto ha un intorno che può essere mappato a uno spazio piatto mediante una trasformazione conforme.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Conformal_map.svg/220px-Conformal_map.svg.png)
In pratica la metrica sulla varietà deve essere conforme alla metrica piatta, ossia le geodetiche devono mantenere le angolazioni passando dall'una all'altra, oltre che mantenere invariate le geodetiche nulle.[1] Ciò comporta che esiste una funzione tale che , dove è la metrica in questione, è la metrica piatta e è un punto della varietà. La radice quadrata di è definita fattore conforme.
Più formalmente, sia una varietà pseudo-riemanniana. Allora è conformemente piatta se per ogni punto in esiste un intorno di e una funzione liscia definita su tali che è piatta (cioè la curvatura di scompare su ). La funzione non deve essere necessariamente definita su tutto
Alcuni autori distinguono ulteriormente attribuendo la definizione precedente a una varietà localmente conformemente piatta e lasciando la definizione di conformemente piatta al caso in cui la funzione sia definita su tutto .
Esempi
modifica- Ogni varietà con curvatura sezionale costante è conformemente piatta.
- Ogni varietà pseudo-riemanniana bidimensionale è conformemente piatta.[1]
- L'elemento di linea delle coordinate geografiche (sfera bidimensionale o )
- ha tensore metrico e non è piatta, rappresentando la sfera, ma usando la proiezione stereografica è mappabile su un piano.
- Una varietà pseudo-riemanniana tridimensionale è conformemente piatta se e solo se il tensore di Cotton svanisce.
- Una varietà pseudo-riemanniana -dimensionale per è conformemente piatta se e solo se il tensore di Weyl svanisce.
- Ogni varietà riemanniana compatta, semplicemente connessa, conformemente euclidea è conformemente equivalente alla ipersfera (sfera -dimensionale o ).[2]
- Nella relatività generale si possono spesso usare varietà conformemente piatte, ad esempio per descrivere la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.[3] Tuttavia è stato anche dimostrato che non esistono sezioni conformemente piatte dello spaziotempo di Kerr.[4]
- Ad esempio, l'elemento di linea delle coordinate di Kruskal-Szekeres, considerando solo le prime due coordinate, temporale e radiale, è
- il cui tensore metrico è , quindi non corrispondente a una varietà piatta. Ma mediante la trasformazione
- si ottiene
- con tensore metrico che è la metrica piatta a meno del primo fattore dopo l'uguale (fattore conforme).[5]
Note
modifica- ^ a b Ray D'Inverno, 6.13 The Weyl tensor, in Introducing Einstein's Relativity, pp. 88-89.
- ^ N. H. Kuiper, On conformally flat spaces in the large, in Annals of Mathematics, vol. 50, n. 4, 1949, pp. 916-924, DOI:10.2307/1969587.
- ^ Janusz Garecki, On Energy of the Friedman Universes in Conformally Flat Coordinates, in Acta Physica Polonica B, vol. 39, n. 4, 2008, pp. 781-797, Bibcode:2008AcPPB..39..781G, arXiv:0708.2783.
- ^ (EN) Alcides Garat e Richard H. Price, Nonexistence of conformally flat slices of the Kerr spacetime, in Physical Review D, vol. 61, n. 12, 18 maggio 2000, p. 124011, Bibcode:2000PhRvD..61l4011G, DOI:10.1103/PhysRevD.61.124011, ISSN 0556-2821 , arXiv:gr-qc/0002013.
- ^ Ray D'Inverno, 17.2 The Kruskal solution, in Introducing Einstein's Relativity, pp. 230-231.