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DefinizioniModifica

Prodotto scalare non degenere in ogni puntoModifica

Un tensore metrico è un campo tensoriale   definito su una varietà differenziabile, di tipo  , simmetrico e non degenere in ogni punto.

Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.

CoordinateModifica

Un tensore è indicato in coordinate come  . Per ogni punto   della varietà, fissato una carta locale, il tensore in   è rappresentato quindi da una matrice simmetrica   con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di   all'interno della carta.

SegnaturaModifica

Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice   è la stessa per ogni   se la varietà è connessa.

Se la segnatura è di tipo  , cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.

Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura  . Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.

EsempiModifica

Metrica euclideaModifica

Lo spazio euclideo   è dotato della metrica euclidea, che può essere descritta da un tensore metrico  . Lo spazio tangente di ogni punto è identificato naturalmente con  . Rispetto a questa identificazione, il tensore   è la matrice identità per ogni punto dello spazio.

Varietà immersaModifica

Sia   una varietà differenziabile in  . Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su  : si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di   al sottospazio dei vettori tangenti a  . Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in   ha una struttura di varietà riemanniana.

Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera unitaria, scritto in coordinate sferiche  , è dato da

 

e può essere riassunto nella forma

 

Spaziotempo di MinkowskiModifica

Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio   dotato del tensore

 

che può essere riassunto nella forma

 

La costante   è la velocità della luce. Il tensore si ricava come unica soluzione di coordinate che soddisfa l'invarianza della distanza fra due punti per tutti i sistemi di riferimento, vale a dire il sistema a due equazioni ponendo:  .

Il tensore di Minkowski corrisponde a un piano senza ostacoli né curvature. Le sue geodetiche sono linee rette, ma il cambio di segno temporale introduce la peculiarità che non corrispondono più alla distanza più breve fra due punti, ma alla più lunga.

Indici di un tensoreModifica

Tensore metrico coniugatoModifica

Al tensore metrico   è associato un analogo tensore di tipo  , denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto   Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di   (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:

 

scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore   è la delta di Kronecker definita da

 

Alzamento e abbassamento di indiciModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Innalzamento e abbassamento degli indici.

Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.

Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori   e  . Ad esempio, un vettore   viene trasformato in un covettore

 

Alternativamente,

 

BibliografiaModifica

  • (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
  • (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.
  • (EN) D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6.
  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlateModifica

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