Campo algebricamente chiuso

In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo $F$ in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in $F$ ha una radice in $F$ (cioè un elemento $x$ tale che il valore del polinomio in $x$ è l'elemento neutro dell'addizione del campo).

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

$3x^{2}+1=0$

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.

Proprietà equivalenti

Un modo comune di esprimere il fatto che un campo $F$ è algebricamente chiuso è attraverso la riducibilità dei suoi polinomi: $F$ è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio $p(x)$ di grado $n\geq 1$ può essere decomposto come $p(x)=K(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})$, dove $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sono elementi di $F$. Gli $x_{i}$ sono precisamente gli elementi del campo che annullano $p(x)$. Equivalentemente, $F$ è algebricamente chiuso se e solo se gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari.

Dalla definizione segue anche che un campo è algebricamente chiuso se e solo se non possiede estensioni algebriche proprie, o se e solo se non possiede estensioni finite proprie.

Cardinalità

Si noti che nessun campo algebricamente chiuso può essere finito.

Supponiamo che esista un campo $(K,+,\times )=\{0_{K},1_{K},k_{1},\ldots ,k_{n}\}$ con $n+2$ elementi (con $0_{K}$ elemento neutro e $1_{K}$ unità) algebricamente chiuso; prendiamo allora il polinomio $p(x)=x(x-1_{K})(x-k_{1})\ldots (x-k_{n})+y$, con $y\in K:y\neq 0_{K}$ e $\deg(p)=n+2\geq 1$.

Risulta automatico che per ogni $x\in K,$ si ha $p(x)=y\neq 0_{K}$ e quindi $K$ non può essere algebricamente chiuso, perché esisterebbe almeno un polinomio irriducibile a coefficienti in $K$ di grado maggiore o uguale a 1.

È anche interessante notare come questa dimostrazione risulti analoga alla dimostrazione del teorema dell'infinità dei numeri primi in $\mathbb {N}$, in quanto equivalente ad affermare che esistono infiniti elementi irriducibili in $K[x]$ per un campo $K$ arbitrario.

Non è necessaria una cardinalità superiore ad $\aleph _{0}$, basti prendere l'insieme dei numeri algebrici su $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {C}$ la cui cardinalità è uguale a quella di $\mathbb {Q}$ che è numerabile.

Chiusura algebrica

Ogni campo $F$ può essere incluso in un campo $K$ algebricamente chiuso che è, in un certo senso, "il più piccolo" campo algebricamente chiuso che lo contiene: più precisamente, tale che nessun campo intermedio tra $F$ e $K$ è algebricamente chiuso o, equivalentemente, tale che $K$ è algebrico su $F$. In questo caso, $K$ è detto una chiusura algebrica di $F$: due chiusure algebriche di $F$ sono sempre tra loro isomorfe, sebbene non sia possibile in genere stabilire un isomorfismo canonico tra due chiusure algebriche (astratte) di $F$. Per dimostrare questa proprietà è necessario usare il lemma di Zorn.

Ad esempio, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali, ma non è la chiusura algebrica dei numeri razionali, che è invece il campo dei numeri algebrici.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.