Campo algebricamente chiuso

In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo $F$ in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in $F$ ha una radice in $F$ (cioè un elemento $x$ tale che il valore del polinomio in $x$ è l'elemento neutro dell'addizione del campo).

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

$3x^{2}+1=0$

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.

Proprietà equivalenti

Un modo comune di esprimere il fatto che un campo $F$ è algebricamente chiuso è attraverso la riducibilità dei suoi polinomi: $F$ è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio $p(x)$ di grado $n\geq 1$ può essere decomposto come $p(x)=K(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})$, dove $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sono elementi di $F$. Gli $x_{i}$ sono precisamente gli elementi del campo che annullano $p(x)$. Equivalentemente, $F$ è algebricamente chiuso se e solo se gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari.

Dalla definizione segue anche che un campo è algebricamente chiuso se e solo se non possiede estensioni algebriche proprie, o se e solo se non possiede estensioni finite proprie.

Chiusura algebrica

Ogni campo $F$ può essere incluso in un campo $K$ algebricamente chiuso che è, in un certo senso, "il più piccolo" campo algebricamente chiuso che lo contiene: più precisamente, tale che nessun campo intermedio tra $F$ e $K$ è algebricamente chiuso o, equivalentemente, tale che $K$ è algebrico su $F$. In questo caso, $K$ è detto una chiusura algebrica di $F$: due chiusure algebriche di $F$ sono sempre tra loro isomorfe, sebbene non sia possibile in genere stabilire un isomorfismo canonico tra due chiusure algebriche (astratte) di $F$. Per dimostrare questa proprietà è necessario usare il lemma di Zorn.

Ad esempio, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali, ma non è la chiusura algebrica dei numeri razionali, che è invece il campo dei numeri algebrici.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.