Chiusura (matematica)

In matematica, la chiusura di un insieme è in generale il più piccolo oggetto che contemporaneamente contiene quello iniziale e soddisfa una data proprietà.

TopologiaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Chiusura (topologia).

In topologia, la chiusura di un insieme S è in parole povere l'insieme di tutti i punti di aderenza per S. La chiusura di S è talvolta definita come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono S, o come il più piccolo insieme chiuso contenente S.

Relazioni binarieModifica

Consideriamo un insieme di proprietà   di cui le relazioni binarie possono godere e sia   una relazione binaria su  .
Chiamiamo chiusura di   rispetto a   o   di   una relazione   tale che:

  1.  ;
  2.   soddisfa tutte le proprietà contenute in  ;
  3. se   è una relazione che soddisfa tutte le proprietà contenute in   e che contiene  , allora deve valere che  .

Questo significa che se esiste la relazione   essa è la minima relazione che contiene   e possiede tutte le proprietà contenute in  .[1]

OperazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà di chiusura.

Il termine chiusura si incontra anche lavorando con gli insiemi numerici e le usuali operazioni. In breve, si può dire che un insieme è chiuso rispetto ad un'operazione se comunque si prendono due elementi di quell'insieme e si esegue l'operazione stabilita, il risultato di tale operazione appartiene ancora all'insieme stesso; insomma, eseguendo l'operazione non si esce dall'insieme.

Ad esempio, detto   l'insieme dei numeri naturali, si nota che è chiuso rispetto all'operazione di addizione; infatti  .

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • Alessandra Cherubini, Stefania Adami, Luca Mauri, Claudia Nuccio, Achille Frigeri, Appunti di Logica e Algebra con esercizi, Maggioli Editore, 2014, ISBN 978-88-916-0076-9.
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